Borne Supérieure, Borne Inférieure

[inviteb9f4eaf7]

Bonjour,

Je vous explique tout d'abord ce que j'ai compris (ou croit avoir compris). La borne supérieure d'une fonction est le plus petit des majorants (maximum) ou le plus grand des minorants (minimum). Il existe toujours des majorants et minorants mais pas de minimum et maximum c'est bien cela? Il y a des fonctions non minorées et non majorées? Je ne vois pas quand car dans l'exemple que nous a donné le prof nous avons:

[0;3] -> Minorant: 0,-1,-2.... et Majorant: 3,4,5...
[0;3[ -> Minorant: 0,-1,-2.... et Majorant: 3,4,5...

Quand avons nous une fonction non bornée?
Merci beaucoup pour votre gentillesse.
Kiwi
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[invite769a1844]

Bonjour,

Je vous explique tout d'abord ce que j'ai compris (ou croit avoir compris). La borne supérieure d'une fonction est le plus petit des majorants (maximum) ou le plus grand des minorants (minimum).

La borne supérieure d'une fonction est le plus petit des majorants (qui n'est pas toujours un maximum).
La borne inférieure d'une fonction est le plus grand des minorants (qui n'est pas toujours un minimum).

Il existe toujours des majorants et minorants mais pas de minimum et maximum c'est bien cela?

Dans oui. Dans on a pas toujours des minorants ou des majorants.

Il y a des fonctions non minorées et non majorées?

Dans , oui. Par exemple la fonction n'est ni majorée, ni minorée dans .

Je ne vois pas quand car dans l'exemple que nous a donné le prof nous avons:

[0;3] -> Minorant: 0,-1,-2.... et Majorant: 3,4,5...
[0;3[ -> Minorant: 0,-1,-2.... et Majorant: 3,4,5...

Quand avons nous une fonction non bornée?
Merci beaucoup pour votre gentillesse.
Kiwi

Ici il ne s'agit pas de borne supérieure de fonction mais de borne supérieure d'une partie réelle . Ce n'est pas la même chose.

[inviteb9f4eaf7]

Merci énormément pour votre réponse.
Si j'ai bien compris, la fonction exponentielle n'a pas de borne supérieure? Sachant que c'est + l'infini? et la fonction cosinus par exemple a pour borne supérieure 1 et borne inférieure -1?

Merci.
Kiwi

[invite769a1844]

Oui, l'exponentielle n'a pas de borne supérieure réelle.
Mais on peut étendre la notion de borne supérieure afin de pouvoir dire que + est la borne supérieure de l'exponentielle.
Et pour le cosinus je suis aussi d'accord, ce sont même des extrémums.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9f4eaf7]

Je n'ai plus qu'a me renseigner sur les bornes des principales fonctions (sin, tan, arccos, arcsin, cosh, sinh, ln, sqrt).

Merci pour vos réponses.
Kiwi