Modèle dynamique

[invite7c8daca2]

bonjour a tous,

j'ai un gros probléme sur une definition je voudrais savoir ce qu'est un
modéle dynamique lineaire a 2 compartiments

merci d'avance de votre aide....
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[invite986312212]

salut,

un modèle à compartiments, c'est un système d'équations différentielles qui décrivent l'évolution d'un ensemble d'objets (j'essaie d'être le plus général possible: c'est dur) qui se répartissent en plusieurs classes (les compartiments).
Exemples:

en épidémiologie: une population d'humains. Trois classes: les susceptibles (d'être infectés, i.e. non immunisés), les infectieux, les immunisés. Si l'on note S,I et R (pour "removed") les effectifs de ces trois classes, on a d'une part:
S+I+R = N (la taille de la population supposée constante), et d'autre part, des équations comme par exemple: dI/dt = a SI -bI qui signifie que la variation du nombre d'infectés est la différence du nombre de nouveaux infectés, proportionnel au produit de S et I (car une infection découle de la rencontre d'un "S" et d'un "I") moins le nombre de nouveaux guéris, proportionnel à I. Ce n'est qu'un exemple, il y a pas mal de modèles différents.

en chimie: la population est une population de molécules de plusieurs types, et les équations décrivent la cinétique des réactions.

en écologie: populations de prédateurs et proies (eventuellement plusieurs de chaque) et équation de type Lotka-Volterra.

etc.

[invite7c8daca2]

moi mon cas c'est :
Une commune est decimee par une epidemie. Les habitants sont soit de bonne sante, soit malades. Les malades soit guerissent ou meurrent. La variation S = dS/dt du nombre S des habitants sains est composee de trois mecanismes : l'arrivee constante de nouveaux habitants des communes voisines (en nombre de N habitants dans une unit¶e de temps), la vitesse avec laquelle ils tombent malades (en nombre de ¡aS habitants par unite de
temps) et la vitesse avec laquelle ils guerissent (en nombre de +bM habitants par unite de temps). De maniere analogue, le nombre de malades varie a cause des nouveaux malades (en nombre aS habitants par unite de temps), a cause des guerisons (en nombre bM par unite de temps) ainsi qu'a cause des deces (cM par unite de temps) ; a; b; c sont des constantes positives.

N.B. :On considere les nombres d'habitants comme des variables
continues et on prend 1 mois pour l'unite du temps. Une personne peut tomber malade plusieurs fois.

2. Formuler un modµele dynamique lineaire µa deux compartiments : S et M.

3. Quel sera l'efectif de la commune dans un avenir lointain et combien il y aura de malades ? Comparer ces valeurs avec celles pour N = 0.
Que constatez vous ?

4. Trouvez la solution de ce systeme pour les valeurs S(0) = 500, M(0) =40, N = 5, a = 0:15, b = 0:1, c = 0:25.

5. Dans combien de temps il y aura un pic de l'epidemie ? Combien de
lits pour les malades seront necessaire ?

Du coup pour repondre a la question 2 j'ai fait dS/dT = N+bM-aS et dM/dT = N+bM-cM

Est ce que c'est ça? Et puis je repondre aux autres questions a partir de celle ci?

[Garf]

Presque : il y a trois erreurs pour le compartiment "malades".

Ca, c'est bon. Cependant, pour l'équation dirigeant la variation du nombre de malades, il n'y a pas de terme en N (les nouveaux arrivants sont sains !), les guérisons réduisent le nombre de malades, et enfin tu as oublié le terme concernant les personnes saines qui tombent malades. En fait, on obtient :

Cela devrait suffire pour répondre aux autres questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c8daca2]

merci beaucoup

mais pour la question 3 comment je peux savoir combien il y a de malades?

[Garf]

Alors là, ma réponse dépendrait du degré de rigueur demandé...

* Si on ne se casse pas trop la tête : en temps long, on peut se dire que l'arrivée de nouveaux habitants va compenser exactement les morts dues à la maladie (popuplation totale constante), et même que les populations seront à l'équilibre (donc une dérivée nulle). Il ne reste qu'à résoudre un système de deux équations à deux inconnues ( et ) pour trouver les valeurs de et de correspondantes ; appelons-les et . On peut alors discuter de leur dépendance en , par exemple.

* Si on veut être plus rigoureux, il faut aussi montrer que le couple ainsi obtenu est un équilibre global. Pour cela, le plus simple me semble tout d'abord de changer de points de référence (i.e. d'obtenir les équa diff gouvernant et ) afin de se ramener à une équation homogène, et de calculer les valeurs propres de la matrice correspondante pour montrer que et convergent (à vitesse exponentielle) vers 0.

* Evidemment, une méthode serait de résoudre explicitement le système, mais comme cela semble être le but de la question suivante...

[invite7c8daca2]

est ce que ça donne ça?

a(S-S0)-b(M-M0)-c(M-M0)

b(M+M0)-a(S+S0)

merci

[Garf]

On obtient les mêmes équations, sans le terme constant (on a tout fait pour ça) :




Je te laisse trouver les valeurs pour et , et (question 4) résoudre ces équations. Ce n'est pas méchant, et je suppose que ça doit être quelque chose déjà fait en cours.