Suite en fonction de n !

[ichigo01]

Salut à tous !

J'ai quelque difficultés sur un exercice et j'ai besoin d'aide
On considère la suite définie par :



1) Montrer que la suite une est croissante :

D'abord par récurrence j'ai montrer que ensuite je peux calculer et je trouve que Un est Croissante .

2) Montrer que pour tout ,. En déduire que la suite Un est majorée par M ( à Déterminer ) .

Je pose ... et je construis et j'ai le résultat demandé .
Déduction : du résultat précédent je développe et je trouve : ça ne donne par grand chose mais je peux dire que U_n est majorée par M = 3

3) Montrer que Un est convergent :
Un croissante + majorée implique que Un est convergente

4) Déterminer sa limite :
là je trouve absolument rien d'intéressant

Je ne sais pas si il fallait au début poser une fonction , ou encore Depuis la question 2 est ce qu'on peut utiliser la suite de Cauchy !

Je serai trop reconnaissant de votre aide.
Merci !
-----

[Scorp]

Essaye de voir au brouillon ce que ca donne pour les premiers termes, tu devrais vite voir apparaitre quelque chose. Notamment, ca te donnera une écriture Un+1=f(n) , il n'y aura plus de Un dedans.
La limite sera alors évidente car Un explicite en fonction de n.

[ichigo01]

Essaye de voir au brouillon ce que ca donne pour les premiers termes, tu devrais vite voir apparaitre quelque chose. Notamment, ca te donnera une écriture Un+1=f(n) , il n'y aura plus de Un dedans.
La limite sera alors évidente car Un explicite en fonction de n.

Oui , j'ai déjà fait ça et j'obtiens des termes supérieur à 1 ( 1,.. ) , pour f c'est le n qui me pose un problème !!

Edit : La suite est majoré par 4 ( non pas 3 )

[mimo13]

Déduction : du résultat précédent je développe et je trouve : ça ne donne par grand chose mais je peux dire que U_n est majorée par M = 3

Pour moi le plus simple est de partir de la formule démontrée precedement puisque c'est une déduction.

On a bien .
En sommant de jusqu'à n-1 ce qui donne:



D'ailleurs ce résultat est clair vue la définition de la suite...
On peut même calculer en fonction de (téléscopie assez évidente)

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scorp]

Je ne suis pas sûr que tu aies compris ce que je disais.

Ton terme Un+1 t'es donné

Donc je peux écrire

Ainsi, on peut écrire ton Un+1 de départ de la façon suivante :


etc...

Mainternant, ne vois tu pas un moyen d'écire est donc de pouvoir calculer facilement la limite quand n tend vers l'infini ???

[ichigo01]

Pour moi le plus simple est de partir de la formule démontrée precedement puisque c'est une déduction.

On a bien .
En sommant de jusqu'à n-1 ce qui donne:



Cordialement

Oui , ( tu as utilisé la somme d'une suite géométrique )

Et pour la limite tu n'as aucune idée ?? ( bon , on sait maintenant qu'elle doit être inférieur ou égale à 2 )

Merci

[Thorin]

..............

[ichigo01]

Mainternant, ne vois tu pas un moyen d'écire est donc de pouvoir calculer facilement la limite quand n tend vers l'infini ???

Oui , j'ai bien compris, mais est ce que je dois trouver ou bien , si j'utilise cette dernière je vais avoir f en fonction de n !!

[Thorin]

t'occupes pas de f, poursuis simplement le raisonnement de Scorp, et vois jusqu'où tu peux aller.

[ichigo01]

..............

Bien sur je les lus !! J'essaye de comprendre !! c'est tout

[ichigo01]

t'occupes pas de f, poursuis simplement le raisonnement de Scorp, et vois jusqu'où tu peux aller.

D'accord !

[ichigo01]

Je ne suis pas sûr que tu aies compris ce que je disais.

Ton terme Un+1 t'es donné

Donc je peux écrire

Ainsi, on peut écrire ton Un+1 de départ de la façon suivante :


etc...

Mainternant, ne vois tu pas un moyen d'écire est donc de pouvoir calculer facilement la limite quand n tend vers l'infini ???

Enfin ! je pense que je te comprends !
Bon suivant ta méthode j'en ai déduis que je peux écrire en fonction du premier terme



plus ce que ça :

c'est bien ça ?

[Thorin]

voilà !
tu peux ensuite calculer ça, n'est-ce pas ? (au passage, le f de Scorp est le racine de truc que tu as maintenant)

[ichigo01]

Sincèrement , je n'arrive pas à calculer cette limite

[Thorin]

tu n'arrive pas à calculer cette somme ???
(les points d'interrogation sont là pour te dire que tu sais certainement le faire, alors regarde la mieux, et souviens toi de toutes les sommes que tu dois savoir calculer)

[ichigo01]

Edit ! ..............

[ichigo01]

lim f(n) =

[Scorp]

haaa, ba voila

Comme quoi, avec les suites, le mieux c'est toujours d'observer ce qui se passe et chercher les premiers termes (pour trouver des relations simples, des récurrences etc ...)

P.S : au passage, tu n'étais pas obligé d'extraire le "1" dans la somme. C'est plus pratique d'écrire directement :

[ichigo01]

haaa, ba voila

Comme quoi, avec les suites, le mieux c'est toujours d'observer ce qui se passe et chercher les premiers termes (pour trouver des relations simples, des récurrences etc ...)

P.S : au passage, tu n'étais pas obligé d'extraire le "1" dans la somme. C'est plus pratique d'écrire directement :

Je vais essayer de se comporter ainsi avec les suites , en tout cas merci beaucoup pour votre aide ( surtout pour votre patience )

Merci ! mille fois !