Pourquoi le spectre de la transfo de Fourier d'une fonction échantillonnée est-il périodique?

[fiatlux]

Bonsoir,

Je pense plus ou moins avoir (peut-être) compris quelque chose, mais j'aimerais bien que quelqu'un me confirme si j'ai compris juste ou non

La grande question, c'est : Pourquoi le spectre fréquentiel d'une fonction échantillonnée est-il périodique (de période 2pi) ?
Alors j'ai pensé à ça : quand on échantillonne un signal dans le domaine temporel, ça revient à le multiplier avec un peigne de Dirac (c'est vrai, ça?). Or la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac étant également un peigne de Dirac (et ça?), et étant donné qu'une multiplication en temporel devient une convolution en fréquentiel, la tranformée de Fourier de notre signal est convoluée avec un peigne de Dirac dans le domaine fréquentiel, et c'est ça qui ferait qu'elle est périodisée (mais pourquoi en fait..?).... et pourquoi de période 2pi ?....
Ouais enfin bref, je ne pense pas avoir très bien compris, quelqu'un peu m'éclairer svp ?

Merci d'avance!
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[MMu]

Une fonction échantillonnée avec la période "temporelle" a un spectre "fréquentiel" périodique de période (fréquence d'échantillonnage)
On a d'abord "produit temporel " "produit de convolution fréquentiel"
Ensuite "peigne temporel de Dirac de période T" "peigne fréquentiel de Dirac de période 1/T"
Donc si le signal a le spectre , après échantillonnage son spectre devient : , d'où la périodicité de .
( est une constante de normalisation)
De là on peut déduire le fameux théorème de Nyquist-Shannon .
Mais bien sur toutes ces affirmations acquièrent de la rigueur seulement avec les outils de la théorie des distributions.

[fiatlux]

Merci pour la réponse !

Maintenant j'ai compris pourquoi c'est périodique, mais ce que je n'ai pas encore tout à fait compris, c'est pourquoi la période est 2pi... ou 1 si on considère les fréquences et non les pulsations angulaires.

[acx01b]

salut, pour montrer la périodicité je propose de revenir à la définition




où j'ai simplement utilisé le fait que

[A voir en vidéo sur Futura]

[fiatlux]

Merci pour la réponse

Mais ça, ça montre effectivement la périodicité, mais est-ce que ça montre vraiment que la période est 1 ? (ou 2pi?)
Si c'est le cas, je n'ai peut-être pas parfaitement compris ton raisonnement, merci de me signaler précisément à quelle étape on peut voir que cette période est 1, parce que là apparemment elle est de période Fe..... je sens que y'a un truc bête que je ne comprends pas.... mais quoi

PS: je sais qu'il y a plein de définitions possibles de la transformée de Fourier, notamment avec des facteur 2pi à divers endroits, mais l'exponentielle complexe pas censée est négative plutôt?

[acx01b]

salut, oui j'ai oublié le - devans l'exp mais tu chipotes

un signal échantilloné tous les Te aura un spectre de période Fe (ce que j'ai mis plus haut : X(nu+Fe) = X(nu) )

un signal discret indexé par des entiers ça correspond à un signal échantilloné tout les 1 (ou à un signal échantilloné tout les Te puis étiré ...)

[fiatlux]

Ok merci beaucoup pour l'explication !

oui j'ai oublié le - devans l'exp mais tu chipotes

lol quand même pas, non