Matrice carrée d'ordre 2, inversibilité

[tarantio]

Bonjour à tous, voila arrivé a la dernière parti d'un exercice, celui-çi me pose problème et c'est pour quoi je demande votre aide, une explication.
On a la matrice identité I d'ordre 2 et la matrice A=
a c
b d (desolé pour la présentation visuelle de cette matrice :s)

On nous donne la relation : A² - (a+d)A + (ad - bc)I = 0

Pour cette partie on suppose que ad-bd est nul
On a donc la relation qui devient : A² - (a+d)A = 0 (S)

1) Supposez la matrice A inversible et utilisez sa matrice inverse A-1 pour "simplifier" la relation (S). Tirez-en une contradiction.

2) Concluez que lorsque le determinant de A est nul, la matrice A n'est pas inversible.

hm voila, je ne butte pas dés que je lis la consigne du 1) mais je ne vois pas vraiment comment arriver a ce qu'ils me demandent.

J'ai mis en facteur A des deux cotés dans la combinaison linéaire mA+nA² où (m,n) appartiennent à R² ce qui donne :
A(A-(a+d)=0 pour ensuite l'exprimer avec son inverse A-1 puis pour la suite j'ai quelques idées mais rien qui ne tienne vraiment la route..

Merci de votre aide..

Tarantio
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[sebsheep]

Tu as A²-(a+d)A=0.
En multipliant à gauche par A^(-1), cela devient : A-(a+d)I =0 (ne pas oublier le I !)
Et donc A = ....
...
...
Et tu arrives sur quelque chose d'assez louche à la fin , ce qui te permet de conclure.

PS : résultat à connaître absolument par coeur maintenant que tu l'as démontré !

[Scorp]

N'oublie pas que tu es en train de faire une démonstration par l'absurde. Il faut donc que tu obtiennes à la fin une contradiction. Ca devrait t'aider dans ton raisonnement : en gros, tu es sûr de devoir tomber lors de ta démonstration surr "... Or on a supposé que ad-bc est nul et A inversible. Ce qui impossible. On en déduit que A n'est pas inversible"

[tarantio]

Ok ! merci pour votre aide, donc au final j'arrive a A=(a+d)I
Et après résolution j'en déduis que a=b=c=d=0 donc la matrice A est la matrice nulle donc Absurde car la matrice nulle n'est pas inversible... dites moi si je ne me suis pas trompé jusque la ^^ si mon raisonnement est bon on arrive a : "On en déduit que A n'est pas inversible" (cit.Scorp)

Voila j'espere ne pas mettre trompé..

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebsheep]

Pour moi c'est bon (à moins que tu ne tiennes vraiment à montrer que la matrice nulle n'est pas inversible, mais c'est un peu tenter une sodomisation de drosophiles ...)

[Scorp]

Ca me parait bien également. Rigoureusement, c'est vrai qu'il faudrait montrer que la matrice nulle n'est pas inversible (ou au moins le préciser comme tarantio l'a fait) pour bien faire sentir la contradiction.

Au pire, le redémontrer prend deux lignes (en faisant par l'absurde, ca marche très bien)

[tarantio]

Hé bien merci a vous deux =) qq chose que je vais bien retenir puisque ce raisonnement montre que si le determinant d'une matrice est nulle alors celle çi n'est pas inversible
encore merci
bonne soirée

[sebsheep]

Hé bien merci a vous deux =) qq chose que je vais bien retenir puisque ce raisonnement montre que si le determinant d'une matrice est nulle alors celle çi n'est pas inversible
encore merci
bonne soirée

Même si c'est vrai pour toutes les dimensions (finies bien sur!), tu ne l'as montré que pour la dimension 2

Au plaisir de t'avoir aidé,
Séb