Longueur d'arc de courbe

[invite64e915d8]

Bonsoir,

Soit une fonction f définie sur [a;b]. Est-il correct de dire que la longueur de la courbe de f comprise entre a et b est égale à la longueur de la courbe de la réciproque de f comprise entre f(a) et f(b) ?

Merci d'avance !
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[Rhodes77]

Pour cela il faudrait que leurs dérivées soient égales, et ce n'est pas généralement vrai. Je dirais plutot non. D'autant qu'il faudrait qu'elles aient le même ensemble de définition, et ce n'est toujours pas généralement vrai...

[Rhodes77]

Désolé j'avais mal lu, j'ai rien dit !

[invite64e915d8]

Intuitivement j'aurais dis que si :

Supposons ; sa longueur d'arc entre 0 et 2 n'est elle pas la même que la longueur d'arc de entre 0 et 4 ?

EDIT : ah oki ^^ et est-ce que c'est démontrable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

En toute généralité, la longueur d'une courbe est égale à la borne supérieure (éventuellement infinie) des longueurs des lignes brisées formés par des cordes de la courbe. C'est donc une propriété du lieu géométrique (et non une propriété de la paramétrisation comme peut le laisser penser la formule avec la dérivée).
Ceci rappelé, le résultat est évident puisque le graphe de l'application inverse est symétrique du graphe de la fonction initiale.
Le montrer avec la formule de la dérivée doit être possible mais beaucoup de calcul pour un résultat évident géométriquement...