Algèbre linéaire et affine

[inviteb8d691b5]

Bonjour, mon prof nous a donné un exercice à faire il y a quelques jours, mais il se trouve qu'il n'a pas le temps de le corriger. Or je n'y comprend absolument rien, et il se trouve qu'il s'agit d'un exo type d'examen, donc j'aimerai bien savoir le faire!!! le voici:

"Soit l'application f de R3 dans R3 donnée par
f(x,y,z) = (2x-y-z,-x+2y-z,-x-y+2z)
1) Justifier que f est linéaire.
2.a)Déterminer une base, et la dimension du noyau de f, noté Ker(f).
2.b) L'application est-elle injective?
3.a)Donner le rang de f et une base de Im(f).
3.b) L'application f est-elle surjective?
4.a) Donner le matrice A de f dans la base canonique de R3."

voila, je sais que s'est beaucoup demandé mais est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'est vraiment important!
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[invite899aa2b3]

Salut,
je pense qu'il serait plus simple de nous indiquer ce qui te bloque. Ça rendra d'autant plus performante toute tentative d'aide.

[inviteb8d691b5]

je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour la 2a et la 3a

[invite899aa2b3]

Sais-tu ce qu'est le noyau?
À quelle condition un vecteur de est-il dans le noyau?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8d691b5]

j'en sais rien du tout je suis complétement pommé dans ce cours.

[invite899aa2b3]

Il faut le regarder, le travailler. L'exercice est en effet difficile si on ne sait pas ce qu'est le noyau.
Le noyau, c'est l'ensemble de tous les vecteurs de l'ensemble de départ dont l'image par est le vecteur nul.
Par exemple, si je te donne l'application (linéaire) définie par
, quel est le noyau.

[inviteb8d691b5]

dans ton exemple le noyau c'est le vecteur (0,0) nan?

[inviteb8d691b5]

dans le cas de mon exercice j'ai résolu pour calculer le noyau :
2x - y - z = 0
-x +2y - z = 0
-x -y +2z = 0
je trouve x=y=z=0
est ce que cela veut dire que le noyau est le vecteur nul (dans ce cas la dimension est 0)?

[invite899aa2b3]

Voilà. Et ce n'est beaucoup pas plus difficile de le trouver dans le cas de ton exercice.

[inviteb8d691b5]

pour calculer l'image j'ai résolu le systéme :
2x-y-z = X
-x+2y-z = Y
-x-y+2z = Z

j'ai remarqué que -X-Y=Z donc Im(f) est le plan cartésien d'équation --X-Y=Z (donc là je pense que la dimension est celle d'un hyperplan soit 2, mais le théoréme du rang me pose un probléme puisque d'aprés ce dernier je dois trouver 3). :s

[sylvainc2]

Pour le noyau, (0,0,0) est un élément car le noyau est un espace vectoriel, et le vecteur nul est toujours élément d'un e.v. Mais il y a aussi d'autres vecteurs non-nuls dans ker(f) car il est en fait de dimension 1. Revérifie tes calculs.

Pour Im(f) tu as la bonne réponse.