Quelques questions pour comprendre l'axiome du choix ... et le paradoxe de B-T

[Romain-des-Bois]

Salut à tous !

Alors comme je l'ai dit dans la partie TIPE, je n'ai pas tout compris à ce que j'ai pu lire sur l'axiome du choix et le paradoxe de Banach-Tarski.

Alors je fais ce topic pour poser mes questions au fur et à mesure

J'espère que vous m'aiderez à mieux comprendre.

J'ai trouvé des docs sur l'axiome du choix sur www.bibmath.net

je vois bien ce que c'est qu'un ensemble, mais qu'est-ce que c'est un ensemble ordonné ?
et comment une partie d'un ensemble peut-être ordonnée maximale ? qu'est-ce que ça signifie ?

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

Merci !
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[doryphore]

Un ensemble ordonnée est un ensemble muni d'un relation d'ordre entre ses éléments, cad d'une relation binaire (entre 2 éléments), antisymétrique (si x<=y et y<=x alors x=y), transitive (si x<=y et y<=z alors x<z et réflexive x<=x)

[doryphore]

POur ta deuxième question, tu parles sans doute d'une relation d'inclusion sur un ensemble de parties d'un ensemble.
Dans ce cas dire qu'une partie est maximale pour la relation d'ordre c'est dire que si une partie contient la partie dite maximale aloes cette parti est l'ensemble tout entier.

[Gwyddon]

Salut,

On va commencer par l'ordre. Un ensemble ordonné est un ensemble muni d'une relation... d'ordre ! (incroyable hein ?)

Bon jusque là, je ne t'apprend vraiment rien. En fait, une relation d'ordre R sur un ensemble E est une relation qui vérifie trois axiomes :

_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).

Comme relation d'ordre que tu connais déjà, il y a l'ordre classique sur IR. Tu peux aussi penser à l'ordre sur les parties de IR, défini avec l'inclusion (je te laisse vérifier que c'est bien un ordre).

Après, sur les ordres, il y en a de deux types : les ordre totaux, et les ordres partiel.

Un ordre est dit total si l'on peut toujours comparer deux éléments: ainsi si je prend au hasard x et y dans E, j'ai toujours soit xRy soit yRx. Typiquement, c'est le cas de l'ordre sur IR.

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

EDIT : gros carambolage avec doryphore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19415392]

J'ai été sur le site, et je suppose que tu fait référence à l'intitulé du théorème de maximalité de Hausdorff : « Dans toute la suite, (E,<=) désigne un ensemble ordonné. On rappelle qu'une partie A de E est totalement ordonnée maximale s'il est maximale, relativement à l'inclusion, dans l'ensemble des parties totalement ordonnées. ».

Déjà, un ensemble totalement ordonné est un ensemble tel que si tu prend deux éléments a et b, alors tu auras (a<=b) OU (b<=a). Ce n'est pas le cas de tous les ensembles ordonnés, par exemple IN* muni de la relation d'ordre "divisible par" est un ensemble ordonné (je te laisse vérifier qu'il satisfait bien à la définition rappelée par Doryphore) mais n'est pas totalement ordonné.

Ici, le terme « maximal » ne fait pas référence à l'ordre <= de E, mais au fait d'être maximal pour la relation d'inclusion dans l'ensemble des parties ordonnées de E (l'inclusion étant bien évidemment une relation d'ordre).

Carambolage en chaîne sur les ensembles totalement ordonnés

[C.B.]

Salut à tous !

Alors comme je l'ai dit dans la partie TIPE, je n'ai pas tout compris à ce que j'ai pu lire sur l'axiome du choix et le paradoxe de Banach-Tarski.

Alors je fais ce topic pour poser mes questions au fur et à mesure

J'espère que vous m'aiderez à mieux comprendre.

J'ai trouvé des docs sur l'axiome du choix sur www.bibmath.net

Tu parles de cette page : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...=./z/zorn.html ?

je vois bien ce que c'est qu'un ensemble, mais qu'est-ce que c'est un ensemble ordonné ?

Un ensemble ordonné est la donnée :
1/ D'un ensemble X
2/ D'une relation d'ordre R sur l'ensemble X

Un ensemble ordonné est souvent représenté par le couple : (X,R).

Tu peux trouver des informations sur les relations d'ordre et les ensembles ordonnés ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../ordrerel.html
ou ici :
http://www.les-mathematiques.net/b/g/z/node3.php3#bgzb1

et comment une partie d'un ensemble peut-être ordonnée maximale ? qu'est-ce que ça signifie ?

Je suppose que tu parles de cela : " Tout ensemble ordonné possède une partie totalement ordonnée maximale (théorème de maximalité de Hausdorff)."

La formulation n'est pas forcément la plus adaptée pour quelqu'un n'ayant pas l'habitude des relations d'ordre.

Sur ce site,tu pourra trouver la démonstration de l'équivalence entre le théorème de maximalité de Hausdorff et le lemme de Zorn : http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/choix.html (mais l'auteur utilise beaucoup de termes techniques).

Que dit exactement ce théorème ?
On parle d'un ensemble ordonné X (ordonné par la relation R)
On considère le sous ensemble E de P(X) composé des parties de X qui sont totalement ordonnées par R (c'est à dire des parties Y de X telle que ).
E est ordonné par la relation d'inclusion .
Le théorème dit que E a un élément maximal pour la relation d'ordre .

ATTENTION : Il ne faut pas confondre "élément maximal" et "élément maximum".
Un élément maximal d'un ensemble X est un élément de X tel qu'il n'existe aucun autre élément de X qui soit plus grand que lui.
Un élément maximal de X est un élément qui est plus grand que tous les autres éléments.

Dans le cas d'un ensemble totalement ordonné, maximal et maximum signifient la même chose. Mais dansle cas d'un ensemble ordonné dont l'ordre n'est pas total il y a une différence.

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

On est là pour ça.

Merci !

De rien. N'hésite pas à poser d'autres question ou à redemander des précision si certaines explications te semblent peu claires.

Edit ffouuu, 4 réponse le temps que je tape mon message....

[invitead065b7f]

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

Je ne crois pas non . 4 réponses le temps de dire ouf. Joli score

Amicalement
Moma

PS : désolé pour le flood, j'ai pas pu m'empêcher

[Romain-des-Bois]

et bien ! merci beaucoup !

J'avoue ne pas avoir vraiment tout saisi est-ce normal ... ?

Je résume, vous me corrigerez...

donc un ensemble ordonné est un ensemble avec une relation d'ordre entre ses éléments (elle est notée R)
donc l'ensemble ordonné X par la relation R est noté (X;R)


_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).


Là, je vois à peu près ce que ça veut dire, mais ce n'est pas très très clair ...


Un ordre est dit total si l'on peut toujours comparer deux éléments: ainsi si je prend au hasard x et y dans E, j'ai toujours soit xRy soit yRx. Typiquement, c'est le cas de l'ordre sur IR.

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

Pour ça, c'est très clair, même si je ne vois pas pourquoi l'ordre sur l'ensemble des parties de IR est partiel ...

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Malgré vos explications je n'arrive pas à saisir le sens d'une partie maximale sur un ensemble...

Je suppose que c'est l'élément de E tel que cet élément soit plus grand que tous les autres (voir définition de C.B) mais je trouve que c'est très facile à avoir ça. Il faudrait une restriction sur la taille de l'élément.
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Dans ce cas dire qu'une partie est maximale pour la relation d'ordre c'est dire que si une partie contient la partie dite maximale aloes cette parti est l'ensemble tout entier.

Ca je comprends.
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est-ce que vous pourriez m'éclairer sur les relations d'ordre. Par exemple vous avez parlé d'inclusion et de "divisible par"... mais je ne vois pas comment on sort un ordre de ces relations...


en tous cas, merci à tous (pour les liens aussi), je commence à y voir un peu plus clair !

[Romain-des-Bois]

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

[Gwyddon]

Salut Romain,

Je vais essayer de t'expliquer pourquoi l'ordre sur les parties de IR est partiel.

En fait, de façon plus générale, l'ordre induit par l'inclusion sur l'ensemble des parties d'un ensemble est un ordre partiel.

Si je prend E={a,b,c,d,e,f,g}, je sais que P(E)= { vide,E,{a,b},{a,b,c},{d,e},etc ...}

Ainsi si je prend {a,b} et {a,b,c} j'ai bien {a,b} inclu dans {a,b,c}. J'ai donc {a,b}R{a,b,c} (ici R désigne l'inclusion).

Par contre, si je veux comparer {a,b} et {d,e}, je ne peux rien dire puisque je n'ai ni {a,b}R{c,d}, ni {c,d}R{a,b}.


"Divisible par" est aussi un ordre : en effet si tu prend un entier n, tu as toujours n divisible par n (la réflexivité est bien vérifiée). Si tu prend n et p tels que n divise p, et p divise n, alors p=n (ce sont des entiers naturels ici dont on parle...). Enfin, tu as bien n divise q si n divise p et p divise q.

De même que l'inclusion sur l'ensemble des parties d'un ensemble, la relation d'ordre "divise" n'est que partielle : si je prend par exemple 2 et 5, je n'ai ni 5 divise 2, ni 2 divise 5. On ne peut donc pas les comparer.

[Gwyddon]

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

R désigne une relation générique. Dans les exemples, tu as par exemple , |, à la place du symbole R.

[C.B.]

_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).


Là, je vois à peu près ce que ça veut dire, mais ce n'est pas très très clair ...

Intuitivement :

• La réflexivité signifie que x est inférieur ou égal à x
• L'antisymétrie signifie que si x est inférieur ou égal à y et que y est inférieur ou égal à x, alors x=y.
  Autrement dit, si x et y sont différents, on ne peut pas avoir en même temps x inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à x.
• La transitivité dit que si x est plus petit que y, et que y est plus petit que z, alors x est plus petit que z.

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

Pour ça, c'est très clair, même si je ne vois pas pourquoi l'ordre sur l'ensemble des parties de IR est partiel ...

Regarde l'ensemble {0,1,2} et l'intervalle : [0;1]

Aucun de ces deux éléments n'est comparable dans P(IR) munit de la relation d'ordre "inclusion".

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Malgré vos explications je n'arrive pas à saisir le sens d'une partie maximale sur un ensemble...

Je suppose que c'est l'élément de E tel que cet élément soit plus grand que tous les autres (voir définition de C.B) mais je trouve que c'est très facile à avoir ça. Il faudrait une restriction sur la taille de l'élément.
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Non, ça c'est "maximum".
Il s'agit en fait d'un élément de E tel qu'aucun autre élément de E n'est plus grand que lui.
L'ordre sur E n'est pas total en général, maximum et maximal ne sont donc pas équivalent ici.

est-ce que vous pourriez m'éclairer sur les relations d'ordre. Par exemple vous avez parlé d'inclusion et de "divisible par"... mais je ne vois pas comment on sort un ordre de ces relations...

Soit un ensemble X, l'inclusion est un ordre sur P(X).

Qu'est ce que ça signifie ?
Cela veut dire que si on considère la relation R définie par :
, alors cette relation est une relation d'ordre sur P(X).

De la même façon, la relation de divisibilité : est une relation d'ordre sur IN, c'est à dire qu'elle vérifie les 3 axiomes des relations d'ordre (réflexivité, transitivité, antisymétrie).

Par exemple, pour la relation de divisibilité on a 3R6, 4R100
pour tout x 1Rx (1 est minimum)
pour tout x xR0 (0 est maximum)

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

Une relation R sur un ensemble X est une partie de X².
xRy signifie en fait que

Quand R est une relation d'ordre et qu'on ne parle que de cette relation d'ordre, on note parfois au lieu de R.

[indian58]

Salut à tous.
Romain29, sans être indiscret, tu es en quelle classe? Si tu rentres en prépa, tu verras en première en année la théorie des ensembles (i.e. les manipulations des ensembles, les axiomes qui régissent ces manipulations, dont l'axiome du choix, les relations d'ordre et d'équivalence,...) et tu comprendras beaucoup mieux. Le but de cette théorie est de construire ce sur quoi un mathématicien, par exemple de construire .
Pour bien voir les relations d'ordre, pense à "<=" que tu connais, ou pense à l'inclusion des ensemble (A B si tout élément de A se trouve dans B).
Pour les relations d'équivalence, pense tout simplement à "=" ou la congruence modulo un entier (si tu fais spé maths en terminale).

Quant à l'axiome du choix, il y a plusieurs formes. L'énoncé le plus simple est le suivant: Si tu as plusieurs ensembles A1, A2,..., An non vides, alors tu peux créer un ensemble en prenant un élément de chaque ensemble A1,...,An. Par exemple, prenons A1={2,4,9,0}, A2={9,1,878,32} et A3={19}. Alors {2,1,19} est un ensemble.

Pour comprendre l'utilisation de l'axiome du choix dans paradoxe de Banach-Tarski, tu as juste besoin de connaître cet énoncé.

[C.B.]

Si tu rentres en prépa, tu verras en première en année la théorie des ensembles (i.e. les manipulations des ensembles, les axiomes qui régissent ces manipulations, dont l'axiome du choix, les relations d'ordre et d'équivalence,...) et tu comprendras beaucoup mieux.

Il me semble que la théorie des ensemble n'est pas au programme de prépa, et que l'axiome du choix n'y est pas abordé.
En tout cas, de mon temps (je me fait vieux ) on ne voyait pas l'axiome du choix, ni en MPSI, ni en MP.

[invite19415392]

Je suis à peu près certain que l'axiome du choix n'est pas au programme, mais ça n'empêche pas d'en parler de temps à autres, par exemple pour évoquer l'existence (ou non) de bases dans les E.V.

[Gwyddon]

Tout dépend du lycée. Ainsi les grands lycées parisiens et les grands lycées de province (Fermat, Kléber ou le Parc par exemple) ont tendance à débuter le cours de sup par la théorie des ensembles, afin de donner un cadre pour la suite de l'année (et par extension un cadre mathématique pour la suite de nos études je trouve).

[Quinto]

Je doute que l'on fasse de la théorie des ensembles en sup et en spé, on a déjà beaucoup à faire avec le programme. Ca ne se fait pas au parc en tout cas.
En revanche, c'est le genre de trucs qui se font à la fac, notamment en cours de logique, avec les ensembles inductifs, les ordres et le lemme de Zorn.
Sinon ca se ferait plutôt à l'ENS ou en licence, ca demande quand même pas mal d'abstraction et de recul.
A+

[Gwyddon]

Ben en tout cas à Henri4 en sup, tout le premier mois est consacré à une intro à la théorie des ensembles (ça se termine sur les ensembles dénombrables/indénombrables, puis on enchaîne sur la théorie des groupes en passant par les monoïdes d'abord, et c'est parti pour un programme de sup plus classique).

En fait, pour être plus précis (j'ai le cours sous les yeux), dans l'ordre :

_ Cours de logique (basique)

_ Les axiomes de la théorie des ensembles (définition d'un ensemble, de l'inclusion, de l'appartenance, du complémentaire, etc...)

_ Fonctions, appplications, injections, surjections, bijections, images directes et réciproques, injection canonique

_ Famille, produit cartésien d'ensemble, partitions, graphe fonctionnel

_ Relation d'équivalence, théorème de partition, ensemble quotient, bijections canoniques

_ Relation d'ordre, ordre total et partiel, quelques théorèmes.

_ Majorants, minorants, borne supérieure, inférieure, élément maximal, minimal, théorème d'associativité des sup et des inf

_ Les entiers naturels : axiomes de Peano, théorème fondamental sur le min d'une partie de IN, division euclidienne

_ La récurrence (ascendente, descendante) et le principe de descente infinie de Fermat

_ Ensembles finis, ensembles infinis, ensembles équipotents, définition et existence du cardinal d'un ensemble fini, théorème de Cantor-Bernstein, principe de Dirichlet (ie lemme des tiroirs)

_ Ensembles dénombrables, indénombrables, démonstration de la non-dénombrabilité de IR et de l'inéquipotence de E avec P(E).

Puis ensuite les monoïdes arrivent.

Plus tard dans l'année on a eu une digression sur le lemme de Zorn (l'axiome du choix) qui nous a permis de démontrer l'existence de bases dans un espace vectoriel de dimension infinie.

[Quinto]

A part le lemme de Zorn, c'est le déroulement logique
A+

[matthias]

A part le lemme de Zorn, c'est le déroulement logique

Oui, ça ressemble aussi à ce que j'ai fait il y a longtemps. Mais pour l'axiome du choix, on ne faisait qu'en donner une version rapide, aucune utilisation et basta.
Et on ne parlait pas de monoïde (juste de magmas ayant ou pas certaines propriétés)
Je suppose que tous les profs suivent à peu près le même schéma.

[Gwyddon]

De plus, on en remet une couche en info sur les assez bon ordres, les bons ordres, et les ensembles inductifs.

[indian58]

La théorie est partiellement au prgramme de sup: il s'agit de savoir manipuler des ensembles.
Les axiomes et la construction de N,Z,Q,R (ainsi que l'existence des bases des ev en dimension infinie) ne sont pas au programme. En revanche, à mon avis, en avoir une idée est indispensable.
Je pense que ces constructions devraient être au programme: il faut savoir exactement ce sur quoi on travaille.

[Gwyddon]

Ah oui j'oubliais : la construction de IR que l'on a faite (avec les sections commençantes ouvertes) reste un pur moment de bonheur dans ma petite vie de taupin

Ce fut bien plus amusant que celle de Q (comme corps des fractions de Z) ou celle de C (en passant par les matrices)

[indian58]

T'as vu la construction de avec les coupures? Nous, c'était avec le passage au quotient (anneau des suites de Cauchy de quotienté par l'ensemble des suites convergentes vers 0, si je me souviens bien!).

[Romain-des-Bois]

Je réponds en vrac

je suis bien en ts spé maths et je passe en sup MPSI. Dans tous les cours de maths MPSI que j'ai vu sur le net, il y a des cours sur les ensembles.
Je vous remercie d'essayer de m'aider, mais je sais pas si c'est moi, mais j'ai vraiment du mal.
J'ai compris la notation xRy etc ...

Je comprends mieux la notion d'ordre, mais pas dans la divisibilité et l'inclusion...

et j'ai maintenant bien compris l'axiome du choix grâce à la définition d'Indian, mais ce doit être incomplet.

Merci !

Une autre question :
une application surjective, c'est le contraire de bijective ?


re merci !!!

(bonsoir au fait !)

[matthias]

J'ai compris la notation xRy etc ...

Je comprends mieux la notion d'ordre, mais pas dans la divisibilité et l'inclusion...

Si tu prends la relation définie sur N* par xRy <=> x divise y,
R est réflexive car pour tout x dans N* x divise x (xRx)
R est transitive car si x divise y (donc y=kx) et y divise z (donc z=qy), alors x divise z (car z=kqx)
R est antisymétrique car si x divise y (y=kx) et y divise x (x=qy), alors y=kqy donc kq=1 donc k=q=1, d'où x=y
R est donc une relation d'ordre sur N*

une application surjective, c'est le contraire de bijective ?

Non, une application de E dans F est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent.
Une application de E dans F est bijective si tout élément de F admet exactement un antécédent.
Donc une application bijective est surjective, mais l'inverse n'est pas nécessairement vrai.

[Romain-des-Bois]

J'aime ces explications claires et précises

[g_h]

Si tu prends la relation définie sur N* par xRy <=> x divise y,
R est réflexive car pour tout x dans N* x divise x (xRx)
R est transitive car si x divise y (donc y=kx) et y divise z (donc z=qy), alors x divise z (car z=kqx)
R est antisymétrique car si x divise y (y=kx) et y divise x (x=qy), alors y=kqy donc kq=1 donc k=q=1, d'où x=y
R est donc une relation d'ordre sur N*

Et c'est même une relation d'ordre partiel, car on n'a pas forcément xRy ou yRx... (c'est maintenant je réalise qu'on a fait pas mal de hors programme cette année !)


sinon, j'ai une autre question, c'est hors sujet par rapport au premier post, mais vu qu'on est en plein dedans... : c'est quoi la différence entre une application et une fonction ? mon prof m'a embrouillé avec ça cette année et je n'ai pas vraiment compris...

(comme quoi le bac a beau être passé, on fait toujours des maths, lol)

[matthias]

sinon, j'ai une autre question, c'est hors sujet par rapport au premier post, mais vu qu'on est en plein dedans... : c'est quoi la différence entre une application et une fonction ? mon prof m'a embrouillé avec ça cette année et je n'ai pas vraiment compris...

regarde dans ce post récent à partir du message #20
http://forums.futura-sciences.com/th...6588-2-18.html
Si tu as des questions après avoir lu ça, n'hésite pas.

[g_h]

C'est limpide, merci beaucoup !