Endomorphismes cycliques

[invite616a69c2]

Bonjour,

j'ai plusieurs questions auquelles je ne sais pas repondre.
La première partie de mon exercice se situait dans l'espace vectoriel maintenant je suis dans l'espace vectoriel K[X].
On considère maintenant les endomorphismes précédents étendus à K[X].
En fait je ne comprend pas le principe de "étendre les endomorphismes à K[X]". Si quelqu'un pouvait m'expliquer je pourrais peut être répondre à la première question posée:
Soit P K[X]. Démontrer que: avec un endomorphisme de

La suite de l'exercice se place dans l'espace
On note B=(e1,...,en) la base canonique de
Soit f l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est A une matrice compagnon telle que et
Je dois montrer que f est cyclique
Or ma définition est: l'endomorphisme f de L(E) est dit cyclique s'il existe un vecteur a de E tel que la famille engendre E. E étant un k-espace vectoriel de dimension finie n.
J'ai essayé de calculer A^2, A^3 mais cela ne me mène a rien.
J'ai calculé f(f(e1)) mais je ne vois pas non plus.

Merci pour le coup de main et surtout pour l'explication.
Amanda
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[invite616a69c2]

S'il vous plait un petit coup de main

[invite899aa2b3]

Salut,
que fait l'opérateur sur le degré du polynôme ?

[invitebe0cd90e]

Salut,

De maniere evidente, est un sous espace vectoriel de . Par ailleurs, la definition de ton endomorphisme est valable de toute evidence pour n'importe quel polynome. Si tu as prouvé precedemment que c'etait un endomorphisme de , maintenant tu peux le voir comme un endomorphisme de qui laisse globalement stable .

Pour la suite, par definition le polynome minimal de ta matrice est , ca sans doute un rapport..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

Merci a vous deux pour vos reponses.

girdav:que fait l'opérateur sur le degré du polynôme ?

degre((P))=deg(P)-1

jobherzt, j'ai bien compris la notion d'étendre merci

bon du coup j'ai qui est égal à une constante, est cyclique d'ordre n et donc fatalement

Par contre pour f cyclique??
Je sais juste d'après la résolution des questions précédentes que: si f est cyclique, le polynome minimal de f est de degré n, et il est unitaire.
Par contre ma patrice pour n=5 est

(j'ai reussi la matrice )
Est ce que je peux calculer la polynome caractéristique par exemple? Enfin est ce que ça va me servir?

Amanda

[invite616a69c2]

J'ai calculé le polynome caractéristique pour n=5 et je trouve . Donc par récurrence, j'en déduis que le polynome caractéristique est
Et le polynome unitaire est (maintenant je l'ai )
De la, est ce qu'on peut en déduire que ?

[invite899aa2b3]

Par Cayley-Hamilton, non?

[invitebe0cd90e]

Salut,

Comme je te le faisais remarquer dans mon premier message, quand tu as une matrice compagnon, le polynome minimal est exactement le polynome associé, cad

Donc dans ton cas, vraiment sans calcul tu vois que le polynome minimal est . Or le polynome minimal est (toujours par definition) un polynome annulateur, cad que .

[invite616a69c2]

Oui c'est vrai (j'avais oublié que c'était ce nom la )
Et donc et maintenant comment je rédige?? M s'écrit dans la base (Id,M,...,M^{n-1}), (hum ça me parait bizarre!!) alors M est cyclique et du coup f est cyclique?

[invitebe0cd90e]

Non, ca n'a pas de sens, ca :

M s'écrit dans la base (Id,M,...,M^{n-1})

En fait, je pense que tu t'embetes pour rien, il existe sans doute des arguments plus propre, et la connaissance du polynome minimal (surtout le fait qu'il soit de degré n) serait utile si la matrice etait quelconque.

Mais la, on a une matrice compagnon, et il est facile de prouver qu'une matrice compagnon definit necessairement un endomorphisme cyclique, et que le vecteur a choisir est tout simplement .

En effet, par definition la n-ieme coordonnée de pour i<n est 0, et donc quand tu appliques la matrice, la derniere colonne (celle avec les coeffs du polynome) ne les affecte pas. DOnc en fait la valeur de ces coefficients n'intervient meme pas !

Ensuite, vu que a des 0 partout sauf en i-eme position, il suffit de regarder la matrice pour voir que la seule ligne qui va l'affecter est la ligne i+1 qui a aussi un 1 en i-eme position. Dit informellement, si tu oublies la derniere colonne, ta matrice ressemble a l'identité mais ou tu aurais decalé les lignes d'un cran.

Tout ce blabla pour dire qu'il est immediat que pour tout i<n, . Et accessoirement, dans ton cas precis (c'est le seul cas qui depend des ) , mais en fait on s'en fiche. Note aussi que l'image de f n'est pas E tout entier puisque la premiere ligne est nulle, mais hereusement dans ta famille generatrice on a aussi l'identité donc ca non plus c'est pas grave :
Finalement, on trouve que
-
-
-

etc... Donc la famille n'est rien d'autre que la base canonique elle meme.

[invite616a69c2]

Ok merci beaucoup, j'ai tout compris, c'est vrai que c'est plus simple que de partir avec le polynome minimal. Je n'avais pas pensé à calculer . En fait j'avais carément pas pensé à prendre f en e1.
Merci pour l'explication.
Bonne fin de week end.
Amanda

[invitebe0cd90e]

En fait il existe des liens entre le polynome minimal et le fait d'etre cyclique, mais ils passent justement par le fait que sous certaine hypotheses on peut se ramener a une matrice compagnon.