problème de logarithmes

[Zartan]

Bonjour,

Pour la réalisation d'un curseur logarithmique, je voudrai trouver la base b et la valeur v telles que

log b (1 + v) = valeur médiane

et

log b (1 + 2v) = valeur maximale

Dans un premier temps j'avais fait le calcul avec

log b (v) et log b (2v), où l'on trouve facilement b et v puisque:
log b (2) = valeur maximale - valeur médiane

mais je me suis rendu compte que c'était incorrect car mon curseur doit démarrer à zéro, je dois donc avoir une fonction log b (1 +x) avec x variant de 0 à 2v.

J'ai essayé la formule de Gendre et j'ai pensé aux développements limités mais je n'ai rien trouvé pour le moment.

Ce calcul est-il possible ?

Merci d'avance.
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[inviteb6902719]

Essaie de la manière suivante :

- Fais la différence entre tes deux équations
- Rassemble 1+v et 1+2v dans le même log
- Inverse ton log
- Trouve v en fonction de b et de tes valeurs (médiane et maximale)
- Remplace dans une des équations ton v sa valeur et trouve b

Ça ne m'a pas l'air plus compliqué que ça, c'est un système de deux équations à deux inconnus.

[inviteb6902719]

Si je ne me suis pas trompé dans mon calcul :
on note val=val_max-val_med

v=(b^val-1)/(2-b^val)

Après il suffit de remplacer..

[Zartan]

Merci, ça marche effectivement, je suis parti dans des trucs compliqués trop vite

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zartan]

Bon le problème a avancé mais il reste une difficulté:

après remplacement j'obtiens:

valeur médiane = - log de base b (2 - b^(valeur maximale - valeur médiane))

ou encore 2*b^valeur maximale - b^(2*valeur maximale-valeur médiane) = 1

Comment obtenir b à partir de cette formule (sans recourir à la force^^) ?

La valeur maximale et la valeur médiane sont données au départ.

[Zartan]

erreur de ma part.

[Zartan]

Désolé pour les erreurs, je dois donc trouver b tel que



Avec p et q connus et positifs, et p < q.

[Zartan]

Bon en dérivant p fois je trouve:

[Zartan]

Bon je repose le problème:

Je dois réaliser un curseur logarithmique, c'est une fonction f(x)

telle que avec

On connait f(v) = m et f(2v) = M, on cherche la valeur v et la base logarithmique b.

La valeur mediane m et la valeur maximale M sont données avec m <M. On peut décider que valeur maximale = 1 et ensuite appliquer une échelle.

Les résultats que j'ai sont pour le moment:

donc
donc

J'obtiens donc

D'autre part, comme vu avec l'aide de Jeegee, j'ai :


donc


donc:



En posant M-m = val on retrouve donc:



et
d'où :

et finalement

Par conséquent comme on cherche v positif on a forcément :

En faisant varier entre 1 et 2 on devrait pouvoir s'approcher de la solution.

#include <stdio.h>
#include <math.h>

void calculBase(long double expo, long double m, long double M)
{
  long double val = M-m ;

  long double base = powl(expo, 1.0 / val) ;
  long double v = powl(base, M) - powl(base, m) ; // v = b^M - b^m                                                                                                                                         
  /*vérifications */
  long double med = logl( 1+v) / logl(base) ; // = m                                                                                                                                                          
  long double maxi = logl(1 + v + v) / logl(base) ; // =M                                                                                                                                                     
  long double verif = logl((1+v+v)/(1+v)) / logl(base) ; // = M-m                                                                                                                                             
  printf("val=%Lg, base=%Lg,v=%Lg, verif=%Lg\n", val, base, v, verif) ;
  printf("med=%Lg, max=%Lg\n", med, maxi) ;

}

int main(void)
{
  long double expo  ; // base^(maximale - mediane)                                                                                                                                                            
  long double mediane = 0.20 ;
  long double maximale = 1.00 ;
  for (expo = 1.0001; expo < 2.000; expo += 0.0001)
    {
      calculBase(expo, mediane, maximale) ;
    }
  return 0 ;
}

Or j'obtiens des résultats incohérents, pour expo proche de 1 la vérication me retourne (M-m) et 2*(M-m) au lieu de m et M.

Quelles sont les erreurs dans mon raisonnement ?

[Zartan]

Bien, je viens de m'apercevoir que la question était mal posée, c'est un banal problème d'interpolation polynomiale, en effet pour réaliser le curseur il suffit de trouver le polynôme tel que :

f(0) = 0, f(v) = valeur médiane et f(2v) = valeur maximale

On peut même fixer v arbitrairement, par exemple 5.

Avec la méthode de Lagrange ça ne devrait poser aucun problème.

Bonne continuation les matheux...