Ensemble p.N+1

[acx01b]

Bonsoir,

peut-être certain d'entre vous auraient une idée sur comment procéder pour montrer que

dans l'ensemble avec premier et un entier quelconque

il y a forcément une infinité de nombres premiers


merci de vos réponses !
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[acx01b]

p est un entier premier fixé à l'avance (donc c'est l'ensemble des entiers congrus à 1 modulo p)

[leg]

p est un entier premier fixé à l'avance (donc c'est l'ensemble des entiers congrus à 1 modulo p)

Si tu veux une infinité de premiers ≡ 1[p] il te suffit de prendre la suite en progression arithmétique de raison 30 avec 8 comme premier terme.

ce qui te donne 8[30] ≡ 1[7] infinité de premiers de la suite en progression arithmétique de raison 30 ayant comme premier terme 7

Théorème de Dirichlet :
Une suite S, en progression arithmétique de raison R ou le premier terme ne divise pas la raison, contient une infinité de premiers.

Et 7ⁿ avec n, impair te donnera les entiers congrus 7 ou 13 modulo 30; par exemple.

ou 11ⁿ, avec n, impair te donne les entiers congrus 11[30] soit les entiers de la S: 12[30] congrus 11[30]...

[invite4ef352d8]

Il existe en effet une démonstration élémentaire de ce résultat. (ie sans recours à toute la théorie général des séries de dirichlet etc...)

on à d'ailleur pas besoin de savoir que p est premier (je l'appelerai n dans la suite) il faut juste de connaitre deux trois choses sur les polynomes cyclotomique :

En fait il faut démontrer que si un nombre premier p (ne divisant pas n) divise Phi_n(k) alors p est congru à 1 modulo n.
pour cela on réduit les polynomes cyclotomique modulo p (un nombre premier) et on regarde si ils ont des racines dans Z/pZ ou pas, or vu la définition des polynomes cyclotomique cela va dépendre de si il y a ou non des racines primitives n-ieme de l'unité dans Z/pZ, (Z/pZ)* etant cyclique c'est le cas si et seulement si n|p-1 ie p congru à 1 modulo n.

une fois que tu sais cela (si tu as du mal à le montrer dis en un peu plus sur ce que tu sais des polynomes cyclotomiques, ou par défaut qu'elle est ton niveau d'étude en math qu'on puisse t'aider...)

suppose qu'il n'existe qu'un nombre fini p1,...pk de nombre premier congru à 1 modulo n, alors Phi_n(n*p1*...*pk) est premier avec n,p1...pk et ses diviseurs premier sont donc congru à 1 modulo n (et différent de p1,...pk)

sinon je peut pas vérifier en ce moment, mais je pense que tu trouvera une preuve détaillé de ce résultat dans un des bouquin classique de l'agreg, probablement le Gourdon d'algèbre, pas loin de l'endroit ou les polynomes cyclotomique sont abordé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[BolzanoWi]

Bonjour,

Ksilver as écris

supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini p1,...pk de nombre premier congru à 1 modulo n, alors Phi_n(n*p1*...*pk) est premier avec n,p1...pk ? Pourquoi n, p1,.. , pk sont permiers avec Phi_n(n*p1*...*pk) ?