Espaces vectoriels de dimension finie, précision

[Thoy]

Bonjour à vous, je me permet de demander quelque chose sur un exercice qui m'embrouille un peu.

Voici :

f une application linéaire de R3 dans R4 tel que soit la base canonique de R3 et

f(e1)=(2,4,0,3)
f(e2)=(1,3,2,1)
f(e3)=(-1,-1,2,-2)

J'ai donc d'après mes calculs ces trois vecteurs f(e1), f(e2) et f(e3) qui engendrent Im f et


E=vect(f(e1),f(e2),f(e3))

Je dois déterminer une base de Im f et rg(f).
Donc d'après moi j'ai la famille E qui engendre Im(f) et je dois déterminer si elle est libre, en faisant la combinaison linéaire C1 reçoit C1+C3-C2 le premier vecteur est nul donc je me retrouve avec une famille de deux vecteurs. Puis-je dire que Im(f) est un espace à deux dimensions et que ces deux vecteurs forment une base de Im(f) alors que Im(f) est un sous espace vectoriel de R4??


Pouvez vous m'éclairer ?
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[God's Breath]

Rien n'empêche Im(f) d'être un sous-espace de dimension 2 dans R⁴ de dimension 4 : dans l'espace usuel, de dimension 3, il existe des plans de dimension 2 et des droites de dimension 1.

Par contre, Im(f) est engendrée par f(e₁), f(e₂) et f(e₃) qui sont liés puisque :
f(e₁) + f(e₃) - f(e₂) = 0.
Mais pour déduire que Imf) est de dimension 2, il faut encore trouver 2 vecteurs linéairement indépendants parmi f(e₁), f(e₂) et f(e₃).

[Thoy]

Oui j'ai bien vu que la famille était liée, cependant pour déduire une base de Im(f), comment puis-je faire ?
Par contre j'ai essayé, il me semble que f(e2) et f(e3) ne sont pas liés. C'est possible qu'ils forment une base de ce sous espace vectoriel ?

[God's Breath]

il me semble que f(e2) et f(e3) ne sont pas liés.

Il faut démontrer que ces vecteurs forment une famille libre, ce sera une base Im(f) puisqu'on sait déjà que c'est une famille génératrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

D'accord donc j'ai bien rg(f)=2, merci beaucoup

J'ai une seconde question, je dois déterminer la dimension puis une base de Ker(f).

Etant donné l'expression de f(x,y,z) j'arrive à démontrer que Ker(f) est déterminé par deux équations cartésiennes : x+y=x-z=0.
Comment puis-je à partir de là déterminer la dimension puis une base de Ker(f)?

[God's Breath]

Puisque Ker(f) est détrerminé par deux équations, tu essaies de le résoudre, c'est-à-dire que tu exprimes certaines des inconnues en fonction des autres, ce qui te fournit une famille génératrice de Ker(f). Tu as ensuite à vérifier que cette famille est libre pour conclure que tu as une base de Ker(f).

[Thoy]

D'accord, je passe donc par une équation paramétrique, c'est ce que je me demandais, merci beaucoup

[God's Breath]

Tu peux aussi déterminer la dimension de Ker(f) avec la formule du rang.

[Thoy]

Oui j'y ai pensé, mais du coup j'ai vérifié que mon résultat était juste

Je me permet de te poser une dernière question, plutôt que d'ouvrir un autre message qui serait plié en quelques minutes.
J'ai un ensemble .
J'ai montré d'après Taylor que était une base de E, et je dois maintenant déterminer un supplémentaire de E dans .
Je ne vois pas trop comment faire, peux-tu me donner une petite indication ?

[God's Breath]

Petit problème : est une base de , pas une base de .

Par exemple :
– la propriété n'est pas satisfaite par .
– la propriété n'est pas satisfaite par .

[Thoy]

D'accord oui. Comment trouver une base de E alors ?

[God's Breath]

Tu utilises ta base de : tu écris le polynôme sous la forme et tu détermines des conditions sur pour qu'il appartienne à .

[Thoy]

d'accord donc j'ai bien 3 conditions puisque t=p et q=s, et donc si je renomme tel que , alors, (a,b,c) engendre E ? Je ne vois pas trop comment l'exploiter !

[God's Breath]

Tu as , donc est une famille génératrice de et, si tu montres que cette famille est libre, tu auras une base de .

[Thoy]

Ah oui, je ne savais pas que je pouvais faire comme ça, ça m'éclaire effectivement Du coup j'ai bien montré que cette famille était libre (en résolvant un système). Du coup, pour chercher un supplémentaire de E dans R4[X], j'ai pensé à chercher deux vecteurs qui, ajoutés à la base de E, formerait une base de R4[X] (car dimension 4 donc dimE+dimF=dimR4[X]=5.
Ce serait le théorème de la base incomplète non ?

Seulement j'ai essayé, mais je n'aboutis pas...

[Thoy]

dimension 5 pardon...

[God's Breath]

Du coup j'ai bien montré que cette famille était libre (en résolvant un système).

Connais-tu les bases échelonnées en degré ?

[Thoy]

Oui, mais je n'arrive pas trop à les utiliser. Donc pour être sure de pas me rater, j'ai choisi k, m, n et j'ai résolu un système où j'avais rangé selon les puissances de X... Au moins je suis sûre de pas me tromper...
Et puis, je ne vois pas trop comment elle est échelonnée celle-ci

[God's Breath]

La famille génératrice de E est constituée de trois polynômes de degrés 4,3, et 2 : donc elle est libre.
Si on la complète par deux polynômes de degrés 1 et 2, on obtient une base de R_4[X].
L'essentiel est que les polynômes aient des degrés deux à deux distincts.

[Thoy]

Ah oui d'accord, je n'avais pas pensé à regarder ceci... Merci, j'ai compris bien plus de choses maintenant !

Mais vu que R4[X] est à dimension finie, et E, aussi, alors il existe un unique supplémentaire donc pas plusieurs... Il me faut donc déterminer le seul qui convient ? Ya-til une méthode en particulier ?

[God's Breath]

Mais vu que R4[X] est à dimension finie, et E, aussi, alors il existe un unique supplémentaire donc pas plusieurs...?

C'est faux !
Le sous-espace E admet une infinité de supplémentaires dans R₄[X]. Il te suffit d'en déterminer un. Il serait d'ailleurs illusoire de vouloir tous les déterminer.