couples de variables à densité

[alexb]

Bonjour j'ai quelques problèmes avec les intégrales doubles :

*(X,Y) suit une loi uniforme sur [0,1]^2, je dois exprimer la fonction de répartition
si x et y <0 F=o
si x et y > 1 F=1
si x et y appartiennent à [0,1] on a F=∫0,x(∫0,ydy)dx=x*y (???)
si y ap[0,1] et x>=1 on doit trouver F=y mais comment fait on ???

*Un joueur lance une fléchette sur une cible de 1m de rayon et atteint toujours la cible X et Y sont les coordonnées du point d'impact et D la distance du centre de la cible au point d'impact. X et Y suivent une loi uniforme sur le cercle de centre 0 et de rayon 1, Je dois donner la loi de D.
Je dois donc en fait déterminer P(√ (X^2+Y^2)=<d) je dois utiliser une intégrale double ...

Merci
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[invite6a5f6d49]

Salut

J'essaie de m'y coller, mais je ne suis pas sûre d'avoir bien compris pour ta 1ere question : (X,Y) suit la loi uniforme sur [0,1]² donc la densité du couple (X,Y) est ?
Si oui pour la fonction de répartition on fait :


Reste plus qu'à intégrer (Fubini est ton ami ) et penser à séparer les cas suivant les valeurs de u et v.

Bon pour la 2ième question, je dois avouer que je n'y ai pas réfléchi, je vais essayer de voir ça.

[alexb]

Oui c'est ça, la densité du couple vaut 1 si (x,y) appartient à [0,1] et 0 sinon en fait je ne comprend pas la définition meme du cours
FX,Y(x,y)=∫(-inf,x)∫(-inf,y)f(t,u)dtdu
que représente t et u ?
merci

[invite6a5f6d49]

Le u et le t ne représentent rien de particulier, ce sont des variables que tu vas intégrer (ce sont des variables dites muettes), il faut bien comprendre que lorsque qu'on écrit
on va calculer la proba que le couple (X,Y) soit inférieur à (x,y) i.e X inf à x ET Y inf à y.

Donc on applique la formule : où f(t,u) représente la densité de ton couple (X,Y), qui va bien sûr dépendre des valeurs de x et y. Tu pourrais très bien mettre f(w,z) ou encore f(a,b) ça n'a aucune espèce d'importance....moi je préfère mettre f(x,y) mais dans ton cas x et y sont déjà utilisées.....

Je ne sais pas si j'ai été très claire

[A voir en vidéo sur Futura]

[alexb]

Oui merci
donc dans le cas où y appartient à [0,1] et x>=1 la densité que X=<x est 1 donc trouver la fonction de répartition revient à chercher ∫(0,y)dy=y
mais comment on exprime l'intégrale double (en fait P(X=<x)=1)pour arriver au résultat ?
Et comment fait on le signe intégrale ^^ ?

[invite986312212]

salut
. C'est la probabilité du rectangle . Je ne crois pas qu'il y ait besoin de calculer une intégrale...

[alexb]

oui vu comme ça c'est beaucoup plus simple.
Pour la densité d'un couple c'est en fait 1/(aire de l'espace concerné) dans l'espace concerné et 0 sinon.
Donc pour l'exercice 1/pi
Avec pythagore la condition à vérifier est x^2+y^2=<1
donc si x appartient à [01[ F=1/pi*∫∫dxdy
changement classique x=rcos(a) y=rsin(a) dxdy=rdrd(a)
F=1/pi(∫(-pi,pi)(∫(0,x)rdr)d(a)=x^2
donc densité 2x si x appartient à 0,1
voila c'est la bonne réponse je pense qu'il y a beaucoup plus simple pour y arriver mais bon ..