Changement de base

[invite67f80e10]

Bonjour et bonne vacances à ceux qui y sont, bon courage pour les autres.

J'ai la matrice M représentative d'un endomorphisme f dans la base B (i,j,k).

Il faut exprimer cette dernière dans la nouvelle base B'(i+k,i,j-k) (On notera M' la matrice représentative de f dans B').

i, j et k étant respectivement (1,0,0),(0,1,0)et (0,0,1).

Pouvez-vous me dire si ma méthode est bonne.

- Je calcul la matrice représentative de B' dans la base B (cette dernière sera noté P).

Je sais que M=PM'.

Ce que je cherche moi c'est M'.

- Je calul l'inverse de P (noté P-1), après avoir avoir vérifié que P était inversible , jobtiens la relatio suivante:

M'=P-1.M

Et j'ai obtenu M'.

Mon gros problème si ma méthode est bonne c'est inversé P.
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[Flyingsquirrel]

Hello,

J'ai traduit le titre de la discussion (« Ouah!...oh!...Ouah!...Oh! » ) dans un langage intelligible et je te rappelle que :

11. Les titres des messages doivent être explicites. Merci d'éviter autant que possible de dériver hors du fil du sujet.

Merci d'y penser la prochaine fois.

[invite67f80e10]

Vraiment dsl, mais je suis en période de révision de concours et ce problème en apparence simple, je n'arrive pas à le résoudre et ça me met hors de moi.

[invitedb2255b0]

Fait un petit dessin:




B B
E------------>E
^ f |
Id | | Id
| f v
E- - - - - >E
B' B'



Bon je sais pas trop si c'est clair, mais l'idée, c'est que pour faire E(B') -----> E(B') par f, on vas passer par un chemin connu:
Id o f o Id. Bon jusqu'à là on le savais bien, reste plus qu'as traduire çà en terme de matrice, car comme on le sais tous, il y a une correspondance entre composition de fonction et multiplication de matrice.

Donc matriciellement on a:

Mat(f) = Mat(Id).Mat(f).Mat(Id)

Maintenant on rajoute les bonne base, en faisant bien attention que le premier Id correspond en fait au dernier. Ex: fog correspond à x--->g--->f =).

Donc on a enfait:
Mat(f,B',B') = Mat(Id,B,B').Mat(f,B,B).Mat(Id ,B',B)

Apres on remarque que Mat(Id,B,B') est tout simplement la matrice de B' dans B, donc Mat(Id,B,B')=Pass(B', B)=(Pass(B,B'))^-1
Et que Mat(Id,B',B) est la matrice de B dans B' donc Mat(Id,B',B)=Pass(B,B').

D'où avec tes notation la celebre formule qu'il ne faut absolument pas apprendre par coeur:

M'=P^-1MP


J'espère que c'est pas trop compliqué =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb2255b0]

http://img62.imageshack.us/img62/3904/sanstitreed.jpg

Tiens voici le liens du petit dessin, surement plus clair.

L'idée est donc que, pour emprunter le chemin rouge, tu vas emprunter le chemin bleue et faire un détour =)