Anneau K[X]/(P) où P est dans K[X]

**daviddit** · 20/04/2010, 15h10

Bonjour,

une petite question :

Soit K un corps, et P et Q deux polynomes de K[X]
irréductibles dans K[X].
Soit L le corps K[X]/(P)
Est-ce que l'anneau L[X]/(Q) (où Q est alors élément
de L[X]) est aussi un corps ?

Merci pour vos réponses.

David

**God's Breath** · 20/04/2010, 15h18

Que se passe-t-il si K est le corps des réels, P et Q deux polynômes irréductibles du second degré ?

**daviddit** · 20/04/2010, 15h26

Je ne sais pas ...
Pourquoi ?

**daviddit** · 20/04/2010, 15h29

tu parles par exemple de P(X) = X^2 + 1 ?
Dans ce cas, R[X]/(P) est isomorphe à C non ?
et donc Q est scindé donc ça marche pas ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**daviddit** · 20/04/2010, 15h33

Mais alors existe des cas où
L[X]/(Q) est un corps ?

**daviddit** · 20/04/2010, 15h42

Oui ça doit exister par exemple
pour K = IR
P = X^2 - 3
et Q = X^2 - 2

Je me trompe ou pas ?

**taladris** · 20/04/2010, 15h49

Envoyé par daviddit

Oui ça doit exister par exemple
pour K = IR
P = X^2 - 3
et Q = X^2 - 2

Je me trompe ou pas ?

P et Q ne sont pas irréductibles pour $\text{[math]}$

**God's Breath** · 20/04/2010, 15h56

Envoyé par daviddit

Est-ce que l'anneau L[X]/(Q) (où Q est alors élément de L[X]) est aussi un corps ?

A quelle condition, nécessaire et suffisante, portant sur Q, l'anneau L[X]/(Q) est-il un corps ?

**daviddit** · 20/04/2010, 16h46

Envoyé par taladris

P et Q ne sont pas irréductibles pour $\text{[math]}$

Oui pardon, en fait je voulais dire K = Q

**daviddit** · 20/04/2010, 16h47

Envoyé par God's Breath

A quelle condition, nécessaire et suffisante, portant sur Q, l'anneau L[X]/(Q) est-il un corps ?

Il faut et il suffit que Q soit irréductible dans L[X] non ?

**God's Breath** · 20/04/2010, 16h55

Oui, mais l'irréductibilité de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ne permet pas de conclure à son irréductibilité dans $\text{[math]}$ .

Considère $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui est irréductible dans $\text{[math]}$ , mais pas dans $\text{[math]}$ .

De même si $\text{[math]}$ et si $\text{[math]}$ est irréductible du second degré, alors $\text{[math]}$ , et le quotient $\text{[math]}$ est un corps si et seulement si $\text{[math]}$ est du premier degré.

**daviddit** · 21/04/2010, 08h58

Merci pour ces infos je comprends mieux maintenant !

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