Produit de Kronecker

[invite53eec1b0]

Bonjour à tous,

Alors voilà, j'ai un devoir d'algèbre à effectuer pendant les vacances, mais je suis confronté à un petit problème que voici :

Je dois démontrer toutes les propriétées de ce produit (et de manière élégante qui plus est !).

Jusqu'à aujourd'hui j'ai réussi à démontrer que:

-Il est distibutif à gauche et à droite sur l'addition
-Pour tout k, Ax(kB)=(kA)xB=k(AxB)
-^t(AxB)=^tAx^tB
-Tr(AxB)=Tr(A).Tr(B)

Mais je ne sais pas quelle doit être ma démarche pour démontrer son associativité (Sachant que je dois utiliser les deux première propriétés).

Ensuite je suis arrivé à la conclusion que le produit de Kronecker n'était pas commutatif, en utilisant un contre exemple. Mais j'aurais voulu savoir s'il était possible de le démontrer, et de quelle manière ?

Donc voila si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes je lui en serait très reconnaissant

Merci et bonne journée !!

Ps: x symbolise le Produit de Kronecker
. symbolise la multiplication usuelle
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[Thorin]

je suis arrivé à la conclusion que le produit de Kronecker n'était pas commutatif, en utilisant un contre exemple. Mais j'aurais voulu savoir s'il était possible de le démontrer, et de quelle manière ?

le contre-exemple est une excellente preuve qu'une affirmation est fausse...

[invite53eec1b0]

okay merci, bon bas je le laisse comme ça alors

Sinon quelqu'un a une idée pour l'associativité ?

[invite53eec1b0]

Personne n'a d'idées pour démontrer l'associativitée ?
Vu qu'il me manque que ça, je voudrais bien avoir une piste, ou un début de raisonnement !

Merci d'avance et bonne soirée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Pour demontrer que : (AxB)xC=Ax(BxC), on peut par exemple montrer que la formule est vraie pour A,B,C parcourant la base canonique des matrices. Le raisonnement marche car on a affaire à des formes trilinéaires.