Problème avec la transformée de Fourier discrète

[invite5a96bed1]

Bonjour,

Je travaille en ce moment sur la transformée de Fourier discrète, théorie que je n'ai pas vue durant mes études, donc je me suis renseigné sur le net. Par contre je connais très bien la théorie de la transformée de Fourier (pour les fonctions L1, L2, et pour les distributions tempérées).

Le problème que j'ai, c'est que je n'arrive pas à faire le lien entre ces 2 formulations. Je pensais que la TFD était une approximation numérique de la transformée de Fourier continue, mais ça n'a pas l'air d'être aussi évident que ça. D'ailleurs, dans la définition de la TFD, il n'y a même pas de normalisation par 1/N, ce qui serait logique lors d'un calcul d'intégrale numérique, style méthode des rectangles.

D'autre part, il semblerait que cette méthode permette seulement de calculer la transformée de Fourier en les entiers. La question, comment la calculer en 1/2 par exemple?

J'espère que vous pourrez m'aider, je connais bien les maths pures, mais dans le domaine appliqué, je patauge complètement.

Merci d'avance, à bientôt.
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[acx01b]

salut

tu prends une fonction continue à support borné, tu la discrétises en la multipliant par un peigne de dirac, tu calcules la TF habituelle (pour les distributions) et tu obtiens la transformée de fourier discrète

tu peux faire la même chose en fréquentiel (discrétisation) en "périodisant" le spectre de ta fonction continue

le théorème de shannon assure qu'on peut faire une reconstructon parfaite de la fonction continue si elle est à support fréquentiel inclu dans [-1/2,1/2] (parce qu'on a discrétisé tous les 1)

maintenant tu connais tout sur la TF discrète pour les signaux de longueur finie
il faut juste rajouter que la TF discrète pour les signaux de longueur finie peut s'écrire de manière matricielle, et que cette matrice (complexe) de passage temporel->fréquentielle est orthonormale à un coefficient multiplicatif près

[invite5a96bed1]

Hello,

Merci pour ta réponse, je vais essayer le calcul avec les masses de Dirac. Un pote m'a dirigé vers le Numerical Recipes et j'ai trouvé une démo où ils discrétisent en la variable de Fourier et ils approchent l'intégrale par une méthode des rectangles.

J'ai fait quelques tests avec la Gaussienne sur l'intervalle [-5,5] avec N=512 points, et la précision est assez bonne, de l'ordre de 10^-8. Par contre, je n'ai pas trouvé d'article parlant du contrôle de l'erreur commise.

Mais j'ai surtout observé un truc très étrange sur cet exemple. La transformée de Fourier de la Gaussienne est réelle, ce qui est aussi le cas pour la TFD. Donc je ne garde que la partie réelle, et j'observe une alternance de signe, que je n'arrive pas à expliquer. Ca me donne la bonne valeur à 10^-8 près, mais c'est négatif un coup sur deux. Je n'ai trouvé aucune référence la-dessus, et je ne m'explique pas ce phénomène. Vous avez déja remarqué ce truc?

Merci et à bientôt.