Théorie vide

[Turgon]

Bonjour. Une broutille à propos des théories de la logique du premier ordre (comme par exemple celle des ensembles).

C'était pour savoir si oui ou non, un théorie sans axiome était considéré comme consistante. Est-il considéré (peut être démontrable) que toute proposition y est indécidable?

Merci d'avance!
(je sais que cette question peut paraitre étrange mais c'est pour savoir "de quoi" on part quand on raisonne sur l'ajout d'axiome)
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[Médiat]

C'était pour savoir si oui ou non, un théorie sans axiome était considéré comme consistante. Est-il considéré (peut être démontrable) que toute proposition y est indécidable ?

Donc on dispose d'un langage, ce qui permet de construire des formules, il est clair que toutes les formules atomiques seront indécidables. C'est beaucoup moins clair pour des propositions plus complexes, en effet si p et q sont deux propositions indécidables, rien ne dit que (p et q), ou (p ou q) soient aussi indécidables, par exemple (p et non p) ne sera pas indécidable. Par contre il me semble que seules les tautologies et les négations de tautologies ne seront pas indécidables.

Quant à la consistance, sans axiome, cela me paraît évident : toute interprétation des éléments du langage sera un modèle de la théorie, donc elle est consistante.

Je ne sais pas si vous voulez prolonger cette réflexion, si oui, il faudrait considérer les théories égalitaires sans axiome autre que ceux de l'égalité, mais avec un langage plus grand ...

[Turgon]

En fait, si moi je ne peux le faire, je pensais (peut être à tort) que dans une telle théorie, il n'était pas trop dur (si on sait faire ce genre de chose) de construire pour une formule quelconque un modèle ou elle est vraie et un autre ou elle est fausse, vu que il n'y a pas d'axiome particuliers à respecter. J'en avais conclu (peut être un peu vite) que toute formule était indécidable dans cette théorie.

Pour la consistance, je suis trop peu familier. Peut être que du fait que tout soit indécidable découle la consistance (en effet si pour toute formule on ne peut ni la démontrer ni démontrer sa négation, on ne peut à fortiori démontrer les deux).

Qu'en pensez vous?

[Médiat]

En fait, si moi je ne peux le faire, je pensais (peut être à tort) que dans une telle théorie, il n'était pas trop dur (si on sait faire ce genre de chose) de construire pour une formule quelconque un modèle ou elle est vraie et un autre ou elle est fausse, vu que il n'y a pas d'axiome particuliers à respecter. J'en avais conclu (peut être un peu vite) que toute formule était indécidable dans cette théorie.

Si vous avez un langage avec un symbole de relation biaire R, la formule est clairement indécidable, mais la formule n'est pas indécidable, elle est démontrable.

Pour la consistance, je suis trop peu familier. Peut être que du fait que tout soit indécidable découle la consistance (en effet si pour toute formule on ne peut ni la démontrer ni démontrer sa négation, on ne peut à fortiori démontrer les deux).

Sauf que la partie en gras est fausse . Alors que l'existence d'un modèle résout le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Merci pour votre réponse.

Apparemment, tout n'est donc pas indémontrable dans une théorie sans axiomes. J'aurais juste un petit exemple qui aurait bien besoin de vos lumière:

Supposons que dans un langage, je me donne seulement un symbole prédicatif d'arité 1 sur les éléments du langage (pour un élément x, on notera V(x) si il vérifie ce prédicat).

Si je ne me donne aucun axiome (donc en particulier rien sur le prédicat V) puis-je dire que dans la théorie ainsi formée, pour tout x, V(x) est indémontrable?
Je pense que c'est essentiellement ce que vous dites plus haut, mais j'ai besoin d'être sur pour cet exemple (pas la peine d'essayer de comprendre mes angoisses névrotiques )

[Médiat]

Supposons que dans un langage, je me donne seulement un symbole prédicatif d'arité 1 sur les éléments du langage (pour un élément x, on notera V(x) si il vérifie ce prédicat).

Si je ne me donne aucun axiome (donc en particulier rien sur le prédicat V) puis-je dire que dans la théorie ainsi formée, pour tout x, V(x) est indémontrable?

Il suffit de considérer la structure dont l'ensemble sous-jacent est le singleton {a}, et ou V est interprété soit
1) V(x) si et seulement si x = a, et votre proposition est vraie dans ce modèle
2) V(x) si et seulement si x != a, et votre proposition est fausse dans ce modèle

Votre proposition est donc bien indécidable.

[Turgon]

Je vous remercie, tout ça est maintenant plus clair pour moi.