Diagonalisation d'une matrice 3x3

[invite8e0730f0]

Le deuxième problème où je planche est plus claire dans l'énoncé mais ne doit pas être plus facile

Diagonaliser la matrice :

-1 0 1
2 0 2
2 0 0


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[invitead11e21d]

Salu !!

Pour diagonaliser une matrice tu dois d'abord chercher les valeurs propres tels que: det, ensuite chercher les vecteurs propres associés a ces valeurs propres.
par exemple si 3 annule det,alors tu pose (A-3)X=0 où X est une matrice colonne... et tu trouve les vecteurs propres (en fonctions de 1 ou plusieurs variables de ton système que tu auras obtenue avec (A-3)X=0)

J'espère avoir été clair,
Combieul

[Scorp]

Le deuxième problème où je planche est plus claire dans l'énoncé mais ne doit pas être plus facile

Diagonaliser la matrice :

-1 0 1
2 0 2
2 0 0

Pourquoi bloques-tu sur cet exo ? Est ce que tu sais ce que veut dire "diagonaliser" ? Sais-tu ce qu'est une valeur propre, un vecteur propre, un espace propre ?

Par exemple, serais-tu justifier que 0 est valeur propre évidente de ta matrice et que le vecteur (0, 1, 0) est un vecteur propre évident de ta matrice associé à la valeur propre 0 ?

[invite8e0730f0]

Hello Scorp. Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer les valeurs propres et donc les vecteurs propres afin de diagonaliser ma matrice. Je sais qu'il y a la méthode GR mais je n'arrive pas à trouver un exemple sur le net afin de m'aider à comprendre. Je ne veux pas qu'on fasse le travail à ma place mais je suis complètement bloquée à ce niveau. Est-ce que qqun pourrait m'aider svp svp svp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4fed873]

Voici la méthode.

Donc comme l'a dit combieul tu dois calculer c'est-à-dire :



Là tu voudras faire apparaître un triangle de zéros soit en haut soit en bas (ici en haut serait mieux je pense).

Donc deux opérations : L2 - 2L1 pour supprimer le coefficient de puis pour supprimer le coefficient de il faudra faire .

Tu vois la méthode ?

Après autre solution (solution que je préfère mais qui n'est pas la meilleure) :

Pour une matrice 2*2 : ou tr(A) est la trace de A (somme des coeficient diagonnaux (= -1 chez toi)).

Pour une matrice 3*3 :

Avec Axx le déterminant de A où tu supprimes la ligne x ainsi que la colonne x.

Voilà je ne sais pas si tu as tout bien compris, sinon dis-le .

[invite8e0730f0]

Hello Oneill ! Merci de passer du temps sur mon problème. Je dois t'avouer que j'ai pas tout bien compris (j'ai pas mal de lacune sur ce qui est du vocabulaire mathémathique) enfin bref. J'ai éssayé de résoudre un peu le problème (dis moi si je suis complètement à coté de la plaque)

pour la matrice -1-x 0 1
2 -x 2
2 0 -x

+(-1-x)((0-x)^2-(0*2) - 0(2*(0-x)-(2*2) +1*((2*0)-(2*0))

=(-1-x)*x^2 = -x^3-x^2

Mais ensuite comment trouver les valeurs propres puis les vecteurs propres afin de faire la diagonalisation ? Désolée je comprends plus (+) le numérique que le théorique

Merci bcp en tout cas

[sylvainc2]

Il y a une petite erreur dans le détermiant, le 3e terme est 1*((2*0)-(2*(-x))).

Ca te donne un polynome cubique du genre x^3+x^2-2x = 0. Les valeurs propres de la matrice sont les racines de ce polynome dit caractéristique. Tu sais déjà que 0 en est une car la colonne 2 est à zéro, il reste à trouver les 2 autres.

Ensuite pour les vecteurs propres, pour chaque valeur propre k, tu résouds le système (A-kI)v=0, v est le/les vecteurs propres de la valeur propre k.

Finalement, pour diagonaliser, tu places ces vecteurs propres v1,v2,v3 dans les colonnes d'une matrice de passage P et tu calcules D=P^1 A P.

Pour vérifier tes calculs tu peux aller ici:
http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/

Entre ta matrice dans le carré puis clique sur Eigenvalues/eigenvectors en bas puis sur Calculate.

[invitef4fed873]

Voilà tout est dit.

Donc tu as 0 comme valeur propre pour trouver la/les dernière(s) tu factorises par x puis le reste tu saura faire.

Ensuite pour les vecteurs propre tu fais comme sylvainc2 t'explique. Tu dois résoudre des systèmes. Avec avec la valeur propre 0 :



C'est-à-dire :



Si tu dois poser des paramètres il faudra en poser.

Là je te le donne comme ça, cette matrice est diagonalisable. Ce n'est pas toujours le cas.

Par exemple si tu as un polynôme de degré 2 qui n'a qu'une seule racine (appelée alors racine double) et que l'espace propre engendré à cette valeur propre n'est que de dimension 1 alors la matrice n'est pas diagonalisable.

Voilà .

[invite27595faf]

Et donc, vous allez rire, mais quand est-ce que l'exo est fini en fait ?

Une fois qu'on a ça : faut faire quoi ensuite ?

Il faut faire la même chose pour les deux autres valeur propres ?

Et ensuite il y a encore des trucs à faire ?

j'ai essayé de trouver une méthode complète "comment diagonaliser une matrice 3x3" sur internet mais je n'ai rien trouvé. Si j'avais au moins un exemple corrigé ça m'aiderait beaucoup !

[invite27595faf]

Je me permet un petit up car mon devoir est à rendre pour bientôt.

[invitecb4b635a]

oui il faut faire la même chose avec les deux autres valeurs propres

si ce n'est pas explicitement demandé, tu peux te contenter d'exprimer la matrice des valeurs propres en précisant qu'il s'agit de la matrice en base des vecteurs propres en les notant juste V1, V2, V3, sans les avoir calculé, mais ca fait un peu incomplet ^^

quand tu as les systèmes de chaque vecteur propre tu détermines ainsi les valeurs de x, y et z en posant x = 1 par exemple, pour déterminer les autres.

dans les résultats des vecteurs propres, on demande souvent de les normer, car après tout ceux sont les vecteurs d'un repère.

bon courage