Géométrie

[Thoy]

Bonsoir

Je bloque complètement sur cet exercice et j'aimerais avoir un tout petit peu d'aide.
Je mets l'énoncé en entier mais je bloque seulement à la première question (pour l'instant )

Voila
A,B,C trois points non alignés d'un plan affine euclidien orienté P.

Je dois justifier que tout point M de P est barycentre des points A B C, et que les coefficients, à multiplication scalaire près, sont uniques.
Puis que pour tout M de P

Et déduire de ceci que les coordonnées barycentriques de M sont proportionnelles aux aires algébriques des triangles (MBC) (MCA) (MAB).

J'ai d'autres questions après, mais je préfère arriver là bien que d'en faire une sur deux

Merci pour vos indications
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[Thoy]

Pouvez vous m'aider?

[Seirios]

Bonjour,

Pour montrer que tout point M est barycentre de A,B,C avec les coefficients qui conviennent, tu peux te placer dans le repère (qui existe bien puisque M, A et B ne peuvent être alignés) et projeter sur tes axes l'expression ; tu peux alors facilement exprimer a et b en fonction de c.

[Thoy]

D'accord, finalement j'ai bien réussi à faire ça, le seul problème c'est que j'ai ensuite utiliser aMA+bMB+cMC=0 pour essaye de montrer que (a,b,c) proportionnels à ce qu'il faut dans la formule qui suit mais je n'arrive pas!

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

D'accord, finalement j'ai bien réussi à faire ça, le seul problème c'est que j'ai ensuite utiliser aMA+bMB+cMC=0 pour essaye de montrer que (a,b,c) proportionnels à ce qu'il faut dans la formule qui suit mais je n'arrive pas!

le fait qu'il soit proportionnel est evident car il y a au moins un terme non nul .
donc on peut tout diviser par ce terme.

pour la question qui suit je te propose
si
aMA+bMB+cMC=0 alors on peut ecrire
MA'+MB'+MC'=0 avec MA'=aMA, etc ...

donc M se retrouve au barycentre ( simple ) des 3 points A',B',et C'
et la formule que tu dois demontrer est la même avec A,B,C ou A',B',C' au facteur multiplicateur abc prèt...

donc en supposant dans un premier temps que abc est non nul
l'équation est facile à montrer en utilisant le fait que le barycentre d'un triangle est à l'insection des médianes avec en plus le fameux rapport 2/3/

les cas ou abc est nul ne sont que des sous cas plus simple ou M est sur une des droites.

[Thoy]

J'ai bien réussi à faire tout cela merci

La dernière question de l'exercice me demande de montrer que les coordonnées du centre I du cercle inscrit sont (BC,CA,AB)... Je ne vois pas comment faire!

[ansset]

J'ai bien réussi à faire tout cela merci

La dernière question de l'exercice me demande de montrer que les coordonnées du centre I du cercle inscrit sont (BC,CA,AB)... Je ne vois pas comment faire!

je ne comprend pas pourquoi 3 coord dans un plan !?