Espace vectoriel et groupe des affinités

[Bleyblue]

Bonjour,

Si je considère un espace vecotriel sur un corps fini , il semble que (vu comme groupe additif) peut-être vu comme un sous-groupe de .

Quelqu'un peut-il me dire comment voir ça ? Je n'y parviens pas ...

merci
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Sauf erreur de ma part, V va s'identifer au sous groupe des translations. Comme par ailleurs, la composition de deux translations par deux vecteurs u,v donne la translation par le vecteur u+v, l'addition de V est bien compatible avec la loi de groupe de AGL(V).

En fait tu as meme un resultat plus fort que ca : puisque le groupe lineaire GL(V) agit sur V par definition, tu peux former le produit semi direct , et il s'avere que le resultat est isomorphe à AGL(V).

Edit : apparemment le forum n'aime pas rtimes, en bricolé ca donne :

[Bleyblue]

Ah, d'accord, merci !

Pour ce qui est des produites semi-directs, j'ai un résultat qui affirme que si :



alors



ou est un sous-groupe de

Mais quand on dit produit semi-direct, on se réfère bien à cette définition (produit direct externe) ?

C'est une notion qui est nouvelle pour moi et le prof de théorie des groupes suppose ça connu donc j'ai un peu du mal ...

merci

[Bleyblue]

Je crois que c'est bien ça.

En revanche je ne vois pas comment montrer la propriété que j'ai énoncé ci dessus, si quelqu'un a une idée

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Salut,

Cette histoire de produit externe/interne est un peu artificielle, tu peux toujours passer de l'une a l'autre, en gros :

- soit tu pars de AGL(V), tu remarques que V en est un sous groupe normal, tu bricoles et tu trouves que AGL(V) peut se "casser" en un produit semi direct (interne) de V par un groupe naturellement isomorphe a GL(V)
- soit tu pars du "vrai" GL(V), et tu le "grossis" an ajoutant des translations, et donc en prenant le produit semi direct de V par GL(V), et tu decouvres que le resultat est isomorphe à AGL(V)

les deux approches sont vraiment equivalentes, surtout la ou il y a des identifications tres naturelle de V et GL(V) comme sous groupes de AGL(V). Dans les deux cas, l'idée est la meme : tu as un groupe G qui agit sur un groupe H (dans le cas du produit interne, G et H sont deux sous groupes d'un meme groupe, et l'action est l'action par conjugaison), et dans ce cas tu prends le groupe qui est en tant qu'ensemble, avec la multiplication "tordue" par l'action de G. Dans notre cas, ca donne la multiplication suivant : si et , le produit donne :



cad que tu utilises de chaque coté l'operation du groupe qui correspond, sauf qu'en plus tu fais agir GL(V) sur V, ce qui revient a prendre f(v) au lieu de v. C'est ca qui fait la difference avec le produit direct.

Enfin pour ta propéié c'est assez immediat si tu admet deja la decomposition en produit semi directe que je t'ai donnée. Sinon, ca revient en gros a montrer cette derniere, et ca revient en gros a montrer que tout element de AGL(V) peut s'ecrire sout la forme ou T est une translation et f une application linéaire, et que cette ecriture est unique (ce qui revient a demander que (en les voyant comme sous groupe de AGL(V)). Ensuite tu as plusieurs methode, cette ecriture te prouve que AGL(V) est egal (en tant qu'ensemble !!) a , il suffit de prouver que V est un sous groupe normal pour avoir l'ecriture en produit semi direct (interne). Sinon tu prends le produit semi direct externe, et tu cherches un isomorphisme vers AGL(V), ce qui revient en fait quasiment au meme..

[invite4ef352d8]

Salut !

dire que G est un produit semi-direct de H par F c'est exactement dire que :

1)H est un sous groupe distingué de G.
2)F est un sous groupe de G.
3)H inter F = {1}
4)et le groupe engendré par H et F est G tout entier.


et l'action de F sur H servant à définir le produit est alors l'action de F par conjugaison sur H...

ce qu'il faut que tu montre c'est donc que que ton groupe G vérifie ces 4 hypothèse, avec : F=G_0 = G inter GL_n. et H=V.


1,2, et 3 sont triviaux. 4) s'obtiens en montrant que toute transformation affine est la composé d'une translation et d'une transformation linéaire...

[Bleyblue]

Merci beaucoup pour toutes les informations, ça m'aide énormément !

Oui en fait je connais le résultat qui dit que les éléments d'AGL sont la composée d'une translation avec une application linéaire.

Du coup j'ai bien en effet :



et aussi :



mais heu, plutôt que de montrer tes 4 affirmations Ksilver, puis-je simplement montrer que et

C'est plus facile, et d'après wikipédia c'est équivalent, mais je devraîs peut-être essayé de le montrer

merci !

[Bleyblue]

Ah non je dois quand même montrer que V est normal dans GL(V), mais vu qu'il s'agit du groupe des translations c'est immédiat

merci beaucoup !

[invitebe0cd90e]

mais heu, plutôt que de montrer tes 4 affirmations Ksilver, puis-je simplement montrer que et

C'est plus facile, et d'après wikipédia c'est équivalent, mais je devraîs peut-être essayé de le montrer

En fait, pour le produit semi direct interne (dont il est question ici) le fait que H et F sont des sous groupes est evidemment une condition necessaire, mais c'est assez trivial dans le sens ou sinon la question n'a meme pas de sens... Mais ca n'est pas forcement evident, ici par exemple il faudrait quand meme justifier que GL(V) et V peuvent etre vus comme des sous groupes de GL(V)... Je veux dire quand tu ecris , pour que ca aie un sens il faut deja supposer que F et H sont des sous groupes d'un meme groupe, sinon ca ne veut rien dire, donc d'une facon ou d'une autre, meme quand c'est evident il faut quand meme que ca soit vrai.

Par contre, le fait que H doit etre un sous groupe normal n'est en general pas evident, et il faut le montrer.. C'est pour ca qu'ici je pense qu'il est peut etre plus naturel de regarder le produit externe parce qu'on a une action evidente de GL(V) sur V. Mais dans tous les cas il y a quelque chose a montrer.

Ensuite je me doute que tu l'avais vu, mais la condition que tu cites est exactement la meme chose que la condition 4) de ksilver.

Bref, tu as lu trop vite le texte de Wikipedia, effectivement ils ne donnent comme condition que les deux dont tu parles, mais parce qu'ils ont posé dans l'enoncé qui precede que K etait distingué et H un sous groupe :

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :
-
-

[invitebe0cd90e]

Ah non je dois quand même montrer que V est normal dans GL(V), mais vu qu'il s'agit du groupe des translations c'est immédiat

Croisement de messages : c'est relativement immediat, mais ca ne saute pas forcement aux yeux non plus, il faut l'ecrire proprement !

[Bleyblue]

D'accord.

merci infiniment, je vais aller noter tout ça