Petit jeu avec des fonctions périodiques

[martini_bird]

Salut à tous,

voilà, je vous propose un petit jeu simple: est-il possible en combinant un nombre fini de fonctions circulaires (sinus et cosinus) de construire une fonction non-périodique (définie sur R, sauf peut-être en certains points)?

Par combinaison, j'entends somme, produit, différence, quotient ou puissance de sinus et/ou cosinus, éventuellement de période différentes.

Dans un premier temps, je vous demanderais de ne pas exhiber de démonstration de la non-existence (ou de l'existence) d'une telle fonction: répondez spontanément au sondage, for the fun!

Quand il y aura un échantillon représentatif, tout le monde pourra proposer des solutions et nous pourrons les comparer.

Bien à vous,
martini_bird.
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[deep_turtle]

Salut,

J'ai pas vu le sondage alors je réponds ici... Je dirais que oui c'est possible, j'ai en tête un exemple très simple.

[invitea77054e9]

Salut,

Je suppose qu'on a pas le droit d'utiliser des puissances de la variable manipulée dans les expressions (x, x², x^3, etc.) . Peux-tu confirmer Martini s'il te plait ?

[martini_bird]

Salut,

Je suppose qu'on a pas le droit d'utiliser des puissances de la variable manipulée dans les expressions (x, x², x^3, etc.) . Peux-tu confirmer Martini s'il te plait ?

En effet, l'expression ne doit comporter que des sin(ax) ou cos(bx).

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

On a le droit de faire des bidouilles du genre :

???

[martini_bird]

On a le droit de faire des bidouilles du genre :

???

Oui, c'est autorisé.

Par ailleurs, une petite précision: il est sous-entendu que des éventuels coefficients seront réels.

Cordialement.

[invite4b9cdbca]

Est-ce que quelqu'un peut redefinir ici une fonction periodique ?
Est ce qu'une fonction periodique de periode T est simplement :
f(x)=f(x+T), x appartenant a l'ensemble de definition de f ?

Ou alors parlons nous aussi de pseudo-periodes ou autres ?

Cordialement.

[martini_bird]

Ou alors parlons nous aussi de pseudo-periodes ou autres ?

Non non: une fonction est périodique simplement s'il existe un réel T tel que pour tout x de l'ensemble de définition, f(x+T)=f(x).

On montre dans ce cas qu'il existe un plus petit T tel que la relation ci-dessus est vérfiée, et on l'appelle la période de f.

Cordialement.

[invite4b9cdbca]

J'ai repondu possible.

[g_h]

Non non: une fonction est périodique simplement s'il existe un réel T tel que pour tout x de l'ensemble de définition, f(x+T)=f(x).

Hmm, si je me borne à cette définition, alors je réponds "impossible" (peut-être que je pinaille mais on verra... )

[martini_bird]

Hmm, si je me borne à cette définition, alors je réponds "impossible" (peut-être que je pinaille mais on verra... )

OK j'aurais dû préciser T non nul et pour tout tel que où est le domaine de définition de f (R privé éventuellement de quelques points).

Ca va mieux?

[g_h]

j'aurais dû préciser T non nul

Zut ! J'ai déjà voté
Bon, jvais chercher un peu plus loin que ça...

[g_h]

+1 pour possible

[Bleyblue]

Moi j'aurais tendance à dire que c'est impossible et j'ai un argument.
Mais étant donné que quelques personnes plus avancées que moi en math on répondut possible je suis quasi. certain d'être à coté de la plaque ...

Enfin, je vote tout de même impossible car c'est ce que j'aurais dis si on avait posé la question à moi seule

[Bleyblue]

Attendez, non !

martini_bird lorsque tu dis sin(ax) cos(bx) tu veux dire a et b réels ?

Si c'est le cas alors je répond possible sûr et certain ! (j'ai déja voté impossible malheureusement)

[Bleyblue]

Ah mais je viens de voir :

Par ailleurs, une petite précision: il est sous-entendu que des éventuels coefficients seront réels.

Donc je confirme mon OUI c'est possible

[Le_boulet]

Ah la la, pourquoi vous ne donnez pas suite à cette question ?

Moi, à part tan (x)*(cos(x)/sin(x)) , je n'ai rien trouvé !!

[invitea77054e9]

Message à oublier, désolé, j'ai écrit une énormité .

[invitea77054e9]

Non non: une fonction est périodique simplement s'il existe un réel T tel que pour tout x de l'ensemble de définition, f(x+T)=f(x).

On montre dans ce cas qu'il existe un plus petit T tel que la relation ci-dessus est vérfiée, et on l'appelle la période de f.

Cordialement.

Une petite précision:
Considérons une fonction constante, par exemple celle qui à tout réel x associe 1, notons-là f . Soit alors un réel positif T fixé, on a bien pour tout réel x f(x+T)=f(x) . Donc, f est bien périodique. Mais, existe-t-il "un plus petit T vérifiant cette relation"? A priori, c'est 0, mais on ne peut dire d'une fonction qu'elle est 0-périodique. Donc, une fonction constante admet-elle une période?

[martini_bird]

Une petite précision:
Considérons une fonction constante, par exemple celle qui à tout réel x associe 1, notons-là f . Soit alors un réel positif T fixé, on a bien pour tout réel x f(x+T)=f(x) . Donc, f est bien périodique. Mais, existe-t-il "un plus petit T vérifiant cette relation"? A priori, c'est 0, mais on ne peut dire d'une fonction qu'elle est 0-périodique. Donc, une fonction constante admet-elle une période?

Une fonction constante est trivialement périodique (ou 0-périodique si tu préfères): cette notion est d'un intérêt... plus que limité!

Enfin bref, ce que je vous demande, c'est une vraie fonction périodique, pas une constante!

Cordialement.

PS: c'est l'heure d'aller faire dodo.

PPS: et puis:

OK j'aurais dû préciser T non nul

+10 caractères: bug? ou c'est peut-être moi qui devrais me coucher!

[invitea77054e9]

Une fonction constante est trivialement périodique (ou 0-périodique si tu préfères): cette notion est d'un intérêt... plus que limité!

Enfin bref, ce que je vous demande, c'est une vraie fonction périodique, pas une constante!

Cordialement.

PS: c'est l'heure d'aller faire dodo.

PPS: et puis: +10 caractères: bug? ou c'est peut-être moi qui devrais me coucher!

On est bien d'accord sur l'intérêt limité de cette notion .

Ce qui me gêne, c'est de dire qu'elle est 0-périodique. Dans ce cas-là, je considère n'importe qu'elle fonction f de la variable réelle, j'ai bien, pour tout réel x, f(x+T)=f(x), avec T=0...
Je chipote sans doute , mais ça m'intrigue quand même.

[martini_bird]

Ce qui me gêne, c'est de dire qu'elle est 0-périodique.

Salut,

oui, tu as raison: ça ne veut absolument rien dire.

[Bleyblue]

Un fonction de type f(x) = C est périodique mais elle n'a PAS de période.
Pas même zéro, une période est un nombre strictement positif.

On peut démontrer que toute fonction périodique continue et non constante possède une période.

C'est ce que j'ai appris cette année, en médecine ...

[Bleyblue]

Notez tout de même que ce serait idiot d'admettre zéro comme période car alors toute fonction de IR dans IR serait périodique.

J'ai ici dans mon cours : (fac. de médecine de l'ulb)

Une fonction f de IR dans IR est dite périodique si il existe un nombre réel k >0 tels que f(x + k) = f(x) pour tout x appartenant au domaine de f.
Le plus petit nombre k > 0 ayant cette propriété s'appel la période de f et se note T. On a donc f(x + T) = f(x) avec T > 0

[invitea77054e9]

Notez tout de même que ce serait idiot d'admettre zéro comme période car alors toute fonction de IR dans IR serait périodique.

C'est justement ce que je voulais mettre en évidence, toutes les fonctions périodiques n'ont pas forcément une plus petite période.

[Bleyblue]

Non mais apparament toute fonction périodique continue et non constante possède une période.
Je ne sais pas le démontrer donc je peux toujours causer évidemment, mais je le tient de source sûr (= de la bouche du prof. de math de la fac. de médecine) donc je suppose que c'est juste ...

[Le_boulet]

Je crois que le problème est à chercher dans la définition même d'une fonction périodique.

J'ai cherché plusieurs définitions sur le net et dans mes bouquins de maths. Les 9/10 ème omettent de préciser que T doit appartenir à R*. (ou alors est-ce le 1/10 ème restant qui a raison ?)

Il n'y aurait pas, en maths, un genre de livre de référence absolu et indiscutable de toutes les déf, axiomes et théorèmes ?

Mais ou va t-on si mêmes les maths ne sont plus une science exacte !?

[g_h]

Bon, c'est quand qu'on corrige ?
Il me semblait avoir trouvé une méthode générale (peut-être qu'il y en a plusieurs) pour construire de telles fonctions, mais j'aimerais savoir si je peux l' "étendre" encore à d'autres cas (enfin bon, je poserai ma question après le feu vert)

[Bleyblue]

Moi j'ai même une méthode toute bête, mais j'aurais peut être du mal à prouver qu'elle est correcte (même si je ne doute pas qu'elle le soit)

[invite8eb8e345]

jai votai avec plus doperation
kar sin(|x|) net pa periodic