Produit couronne

Bleyblue · 26/05/2010 - 12h05

Bonjour,

J'essaye de comprendre le produit couronne de deux groupes. Je me base sur le livre de P.J Cameron dans lequel il est écrit (je précise que Cameron note parfois $\alpha.h$ pour $h(\alpha)$ ):

Let $H$ and $K$ be permutations groups on the sets $\Gamma$ and $\Delta$ respectively and $\Omega = \Gamma \times \Delta$ . Think of $\Omega$ as a fibre bundle over the set $\Delta$ , with projection map $(\gamma,\delta) \to \delta$ ; each fibre $\Gamma_{\delta}$ is isomorphic to $\Gamma$ for fixed $\delta \in \Delta$ . Let $B$ be the cartesian product of $|\Delta|$ copies of $H$ , one acting on each fibre as $H$ acts on $\Gamma$ . Thus $B$ is the set of functions from $\Delta$ to $H$ with pointwise operations; the action is given by : $\mu((\gamma,\delta),f) = (\gamma f(\delta), \delta)$ . Let T be a copy of the group $K$ permuting the fibres : $\mu((\gamma,\delta),k) = (\gamma,\delta k)$ . Then T normalise B.

Je ne suis pas sûr de ce qu'il veut dire par "une copie de K" ?
A mon avis comme K agit sur $\Delta$ , K agit aussi de manière canonique sur les fibres (par l'action qu'il donne).
Je pense que c'est ce qu'il veut dire par "une copie" non ?

Et que veut-il dire par "T normalise B" ? Pour moi ça veut dire que B est un sous-groupe normal de T mais je ne vois pas comment il voit ça ...

merci

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