calcul d´intégrale complexe

[Bartolomeo]

Bonjour,

j´ai besoin d´aide pour calculer cette intégrale. La courbe est parcouru dans le sens positif.




Cordialement.
Bart
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[Armen92]

Bonjour,

j´ai besoin d´aide pour calculer cette intégrale. La courbe est parcouru dans le sens positif.




Cordialement.
Bart

Deux pôles simples en , le théorème des résidus et c'est gagné !

[Bartolomeo]

merci pour le coup de main!

Malheureusement je ne maitrise pas encore le théorème des résidus. Cet exo ne se trouve même pas dans le chapitre "résidu". Y a t´il un moyen de le résoudre sans?

Cordialement.
Bart

[Armen92]

merci pour le coup de main!

Malheureusement je ne maitrise pas encore le théorème des résidus. Cet exo ne se trouve même pas dans le chapitre "résidu". Y a t´il un moyen de le résoudre sans?

Cordialement.
Bart

Oui ; un fois paramétrée en , l'intégrale est :

On développe en série entière :

et on intègre terme à terme. Toutes les intégrales sont nulles, l'intégrale cherchée est donc nulle.

Le théorème des résidus donne ce résultat immédiatement, puisque le résidu en est égal à : la somme des résidus aux pôles situés dans le contour est donc nulle.
Ceci se voit encore plus vite en notant que l'intégrale sur toute boucle contenant les deux pôles est indépendante de la "taille" de cette boucle (Cauchy). En prenant le cercle de rayon et en faisant tendre vers l'infini, on voit que l'intégrale est d'ordre et tend donc vers zéro. Sa valeur est nulle à la limite, elle est indépendante de si , c'est donc qu'elle est nulle .
L'intégrale est d'ailleurs également nulle si . Si , l'intégrale est impropre et doit être régularisée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bartolomeo]

Merci beaucoup!
Comment as tu eu l´idée de paramétrée en ?
Est ce une règle, une astuce?

[Armen92]

Merci beaucoup!
Comment as tu eu l´idée de paramétrée en ?
Est ce une règle, une astuce?

Ni une règle, ni une astuce !
Si parcourt le cercle centré à l'origine et de rayon , c'est qu'il est l'affixe du point de coordonnées , ; il s'écrit donc ...

[Bartolomeo]

On développe en série entière :

et on intègre terme à terme. Toutes les intégrales sont nulles, l'intégrale cherchée est donc nulle.

Pour n=0 le terme de la série entière est égal à donc l´intégrale ne peut être nulle?!

[Armen92]

Pour n=0 le terme de la série entière est égal à donc l´intégrale ne peut être nulle?!

Désolé, j'ai raté un facteur devant la sommation. Une fois remis en place, c'est qui apparaît, qui donne une intégrale nulle quel que soit entier naturel.

[Bartolomeo]

Merci pour ton aide! Le fait d´utiliser le développement en série entière, est ce une astuce?

Petite réctification de l´enoncé:

c´est avec un signe négatif dans le dénominateur:


Alors en utilisant

l'intégrale est :


Maintenant j´utilise le développement limité de . Ne dois je pas être sûr que , soit ?

Si je continue qu´en même, j´obtiens:


L´intégrale de chaque terme est donc bien égale à zéro!
Y a t´il des erreurs dans mon calcul?

[Armen92]

Merci pour ton aide! 0) Le fait d´utiliser le développement en série entière, est ce une astuce?

1) c´est avec un signe négatif dans le dénominateur:


2) Ne dois je pas être sûr que , soit ?[/COLOR]

3) L´intégrale de chaque terme est donc bien égale à zéro!
4) Y a t´il des erreurs dans mon calcul?

0) Avec un peu de savoir-faire, on pense vite au développement en série entière.
Les maths, c'est beaucoup de compréhension et pas mal d'"astuces".
1) Le changement de signe au dénominateur ne modifie pas le résultat, évidemment (d'ailleurs, si je tourne la tête de 90°, je vois toujours la même chose, et l'intégrale aussi !)

2) Pas de problème avec le rayon de convergence de la série entière :

Ici, on développe suivant les puissances de dont le module vaut 1/4 et est donc strictement inférieur à 1.

3) Oui, pour les différentes raisons que je vous ai données dans un message précédent.

4) Je n'ai pas refait votre calcul en détail.

[Bartolomeo]

merci beaucoup!