une égalité de Ramanujan

[Armen92]

Bonsoir,

Quelqu'un aurait-il une idée à propos de cette égalité énigmatique due à Ramanujan :

où je devine que est une bonne et gentille fonction ?
Selon Hardy, il s'agit même de l'une des égalités favorites de Ramanujan...
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[Tryss]

L'indicatrice d'Euler?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

Bon, ok, elle n'est normalement pas définie en 0, mais avec une valeur "arbitraire" pour la beauté de l'égalité pourquoi pas. Par contre j'aimerai bien savoir comment montrer cette égalité

[Armen92]

L'indicatrice d'Euler?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

Bon, ok, elle n'est normalement pas définie en 0, mais avec une valeur "arbitraire" pour la beauté de l'égalité pourquoi pas. Par contre j'aimerai bien savoir comment montrer cette égalité

Bonsoir,

Merci pour cette piste.
Cette égalité est citée par Hardy ("L'apologie d'un mathématématicien", p. 116), sans aucune indication sur la fonction .
S'agit-il d'une fonction-test intervenant en théorie des distributions ?
Faut-il comprendre les intégrales (visiblement divergentes au sens usuel) comme des fonctionelles régularisant le tout à la Guelfand et Chilov ?
J'avoue être dans le brouillard...

[Universus]

Salut,

Bon, ok, elle n'est normalement pas définie en 0, mais avec une valeur "arbitraire" pour la beauté de l'égalité pourquoi pas.

Et l'est-elle par exemple pour des entiers négatifs? Il y a bien qui apparaît dans l'égalité...

Par ailleurs peut-être pourriez-vous m'éclairer sur certains points. Dans l'intégrale, on a la série qui est une série de puissances qui peut servir à définir une fonction . Par ailleurs, étant donné que la série doit converger pour tout x pour que soit intégrable, il faut avoir . Ceci ne semble pas correspondre à une extension aux réels de l'indicatrice d'Euler.

Par intérêt afin de déterminer une fonction possible, étant donné l'unicité de la représentation d'une série de puissances, on déduit que et .

J'imagine que ces arguments sont erronés, mais j'ai de la difficulté à cerner clairement pourquoi, d'où la raison pour laquelle j'en parle.

Edit : Je n'avais pas vu le dernier commentaire de Armen92 qui met tout ça en perspective et complètement hors de ma portée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Salut,


Edit : Je n'avais pas vu le dernier commentaire de Armen92 qui met tout ça en perspective et complètement hors de ma portée.

Bonsoir,

Grâce à quelques internautes, j'ai un peu progressé.
Cette égalité est semble-t-il une conséquence du "Ramanujan Master Theorem", ce qui pour l'instant ne m'avance guère, mais ouvre une voie bibliographique que je n'ai pas encore explorée.

[ericcc]

Tu peux regarder ici : http://mathworld.wolfram.com/Ramanuj...onFormula.html pour débuter ta recherche sur le Master Theorem de Ramanujan.

[Tryss]

D'après ce lien, la fonction phi serrait donc la transformée de Mellin d'une fonction

http://mathworld.wolfram.com/MellinTransform.html

J'étais loin avec mon indicatrice d'Euler (les z auraient du me mettre la puce à l'oreille)

[breukin]

Ah, ça généralise, pour :

[breukin]

Il ne faut visiblement pas prendre n'importe quel
Car si on prend , donc ...

Reste donc à déterminer le degré de gentillesse de la fonction

[Universus]

Salut,

Ah, ça généralise, pour :

La formule généralise-t-elle vraiment ce cas? Dans l'intégrale, on a la série . En posant , on obtient la série géométrique qui converge vers pour , alors que le domaine d'intégration est clairement en partie en-dehors de cet intervalle. Alors oui je vois bien la ressemblance, mais ce n'est peut-être pas une généralisation très directe.

Il ne faut visiblement pas prendre n'importe quel
Car si on prend , donc ...

Reste donc à déterminer le degré de gentillesse de la fonction

Déjà, il y a le problème de la non-unicité de la fonction , vu que seules les valeurs aux naturels importent dans l'intégrale alors que la fonction est généralement définie ailleurs vu le membre de droite.

Par exemple, et comme tu l'as mentionné. Ces deux fonctions coïncident sur les naturels, mais clairement sont distinctes et il y a donc une certaine ambigüité sur le membre de droite.

[breukin]

En fait, le problème est mal écrit.
Il aurait fallu écrire :

où est une fonction définie sur R, qui peut s'écrire dans un voisinage de 0 par la série :

et ne surtout pas mettre la série dans l'intégrale.
Le lien http://mathworld.wolfram.com/Ramanuj...erTheorem.html donne la bonne présentation (attention, ce ne sont pas les mêmes ), et mon exemple est donné dans ce contexte-là avec de sorte que d'où .

En fait, il faut dire :
Soit la fonction . Elle peut s'écrire sous la forme :
sous un certain voisinage de 0.
Donc :

[Armen92]

En fait, le problème est mal écrit.
1) Il aurait fallu écrire :
......
et ne surtout pas mettre la série dans l'intégrale.


2)

1) C'est pourtant ainsi que l'écrit Hardy, qui n'était pas le premier venu...
2) Avec , c'est en effet une intégrale bien connue.
Le point est que l'égalité de Ramanujan citée par Hardy a une portée bien plus générale, conditionnée par la gentillesse de la fonction , évidemment.

[breukin]

Hardy ou pas Hardy, il y a nécessairement des conditions à préciser, puisque deux fonctions différentes même gentilles peuvent coïncider sur les entiers.
Mais comme souvent, la première formulation d'un théorème n'est pas la meilleure. On trouve le résultat, après, on le formalise. Donc cela ne retire rien à Hardy.
Et s'il l'a formulée ainsi, c'est que c'était limité aux seules fonctions où la série est définie sur R, alors que visiblement, ça s'étend encore à plus de cas, avec l'autre formulation.

[Armen92]

Hardy ou pas Hardy, il y a nécessairement des conditions à préciser, puisque deux fonctions différentes même gentilles peuvent coïncider sur les entiers.
Mais comme souvent, la première formulation d'un théorème n'est pas la meilleure. On trouve le résultat, après, on le formalise. Donc cela ne retire rien à Hardy.
Et s'il l'a formulée ainsi, c'est que c'était limité aux seules fonctions où la série est définie sur R, alors que visiblement, ça s'étend encore à plus de cas, avec l'autre formulation.

Soit. Je renouvelle ma question : comment démontre-t-on ce théorème ?
Connaissez-vous une référence où la démonstration est donnée, ce qui permettra(it) de savoir les hypothèses sur ?

[breukin]

Hélas non, j'ai l'impression que ça dérive de l'application de la transformée de Mellin, dont j'ignore la démonstration ni les conditions d'application (qui devraient découler des principes de la démonstration).

[Armen92]

Hélas non, j'ai l'impression que ça dérive de l'application de la transformée de Mellin, dont j'ignore la démonstration ni les conditions d'application (qui devraient découler des principes de la démonstration).

J'ai trouvé une référence donnant la démonstration : G.H. Hardy, "Ramanujan, Twelve lectures on subjects suggested by his life and work", p. 188

[martini_bird]

Salut,

et la formule découle de l'égalité .

Cf. Riemann's Zeta Function, H. M. Edwards, Dover Pub., p. 218.

Cordialement.

[Armen92]

Salut,

et la formule découle de l'égalité .

Cf. Riemann's Zeta Function, H. M. Edwards, Dover Pub., p. 218.

Cordialement.

Mais non, vous n'avez pas compris la question.
Vous citez d'une part une intégrale bien connue, d'autre part la définition de la fonction d'Euler de 2ème espèce.
Le point n'est pas là.
Voir mon message d'aujourd'hui, donnant la référence que j'ai finalement réussi à trouver où Hardy démontre ce qui est parfois appelé "Ramanujan's Master Theorem".

Cordialement

[martini_bird]

Salut,

désolé, mon message était rapide et je n'ai laissé que les indices qui permettent de démontrer l'égalité. Va à ta BU préférée trouver le bouquin que j'ai cité, à la page mentionnée.

Cordialement.

[Armen92]

Salut,

désolé, mon message était rapide et je n'ai laissé que les indices qui permettent de démontrer l'égalité. Va à ta BU préférée trouver le bouquin que j'ai cité, à la page mentionnée.

Cordialement.

Je renonce à vous faire comprendre où est le problème.
Point besoin d'aller en bibliothèque pour trouver les "indices" quasi triviaux que vous citez, que l'on trouve dans tous les bons polys de L3.
Essayez de trouver le livre de Hardy que j'ai indiqué en référence, et de saisir sa démonstration, pas triviale du tout, à propos d'une égalité dont il dit lui-même qu'elle est tantôt juste, tantôt fausse, tout dépend de la fonction (ce qui d'ailleurs saute aux yeux).

[martini_bird]

Salut,

cesse de regarder mon doigt et lis le passage que, dans ma grande bonté, je t'ai recopié :

Hardy, in his book on Ramanujan, states that Ramanujan "was especially fond and made continual use" of the formula

.

In the discussion that follows it will be convenient to recast this in the equivalent form

.

in which s has been replaced by 1-s, by and by . In this form Ramanujan's formula can be deduced from

by observing that ...

Nota : est l'avatar dû à Gauss de la fonction d'Euler .

Cordialement.

[Armen92]

Salut,

cesse de regarder mon doigt et lis le passage que, dans ma grande bonté, je t'ai recopié :

Cordialement.

Je n'attendais pas une si grande bonté (!?) de votre part.

Je ne vous suggère pas à nouveau d'aller dans vore bibliothèque préférée pour trouver le livre de Hardy, afin de méditer cette remarque (p 188):
"It is easy to give examples of both the truth and the falsity of...

Thus and give the formulae ...


On the other hand, the formula is plainly false when ...."

etc.

[martini_bird]

Salut,

Je n'attendais pas une si grande bonté (!?) de votre part.

C'est que tu me connais mal et que tu ne manifestes pas un grand sens de l'humour...

Bref, je n'ai jamais remis en question le fait que la formule n'est valable que pour une certaine classe de fonctions... Mais puique tu as décidé que je ne pouvais pas comprendre, je te laisse à tes recherches.

Cordialement.

[breukin]

A la décharge d'Armen92, votre post de 19h08 ne pouvait n'avoir qu'une seule lecture, la démonstration de la formule des compléments.
Hélas, le correctif de 23h05 n'en apporte pas plus, car l'article défini "l'" dans "démontrer l'égalité" laisse toujours penser qu'il s'agit de cette formule des compléments, et pas de celle du début.
D'où le renoncement.

Moralité : jamais de messages sibyllins en mathématiques, mais toujours des messages développés, même si ça prend du temps.

[martini_bird]

Salut,

pour revenir sur la formule des compléments et pour développer un peu, suivant les conseils de ce cher breukin, gagne très souvent, dans le cadre des transformées de Mellin, à être interprété comme un produit de facteurs gamma.

Et pour insister une dernière fois, la réf que j'ai donnée fournit des éléments substantiels pour démontrer l'identité de Ramanujan sus-mentionnée, et dans de nombreux cas. Après, je ne revendique aucune prévalence d'aucune sorte, d'autant qu'Armen92 a fermement décidé que je n'étais pas à la hauteur de ses connaissances...

Cordialement.

[Armen92]

Salut,



1)C'est que tu me connais mal et que tu ne manifestes pas un grand sens de l'humour...

2) Bref, je n'ai jamais remis en question le fait que la formule n'est valable que pour une certaine classe de fonctions...
3) Mais puique tu as décidé que je ne pouvais pas comprendre, je te laisse à tes recherches.

Cordialement.

1) On se demande qui n'a pas le sens de l'humour !
2) On ne peut pas dire que cela sautait aux yeux dans vos précédents mesages, qui se bornaient à tourner autour de la formule des compléments et de quelques égalités bien connues des étudiants de L3.
3) Mes recherches sont terminées : je dispose maintenant de la démonstration de Hardy, que demander de plus ?!

[martini_bird]

Salut,

je ne sais pas ce que tu cherches à prouver, mais ton dernier post est tout aussi dénué d'intérêt que celui que je rédige en ce moment...

Bonne nuit.

[breukin]

Il ne cherche rien à prouver.
Comme je l'ai indiqué, la formulation de vos réponses ne pouvait qu'avoir qu'une seule lecture : vous parliez de la formule des compléments.
Si vous vouliez donner des indications sur le théorème maître de Ramanujan, ce qui était effectivement votre objectif initial, il fallait formuler vos interventions d'une autre manière. Telles qu'elles étaient écrites, il était inintelligible qu'elles parlaient de la formule de Ramanujan, et donc vous donniez réellement l'apparence d'être hors sujet.
D'où la réaction, normale, d'Armen, qui a raison de dire : "on ne peut pas dire que cela sautait aux yeux dans vos précédents messages".
Il n'est nullement contesté que vous ayez donné des références substancielles pour la formule de Ramanujan. Il est simplement reproché que dans la fourniture de ces références, tout laissait croire que c'étaient des références pour la formule des compléments, donc inutiles pour le problème posé. Et quand on pense qu'une référence est hors sujet, on ne va pas la regarder.
Bref, vous avez mal présenté votre référence, et tout le quiproquo vient de là.