Système d'inéquations multivariables

[invitefd4e7c09]

Bonjour à tous,

Voici un problème sorti tout droit d'un cas concret et je vous avoue que je ne sais pas trop par quel bout le prendre :


Déterminer les entiers naturels : , , , , ..., , tels que :


sachant que tous les k_i sont des constantes connues.

Voici ma façon d'aborder le problème mais c'est insuffisant.
Première approche:
***************
Fixer et déduire alors la valeur de

Ensuite fixer et conserver la valeur de trouvée précédemment et déduire la valeur de

etc ...

Qu'en pensez vous et comment attaqueriez vous ce problème

Cordialement
Anthony Canu
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[invitefd4e7c09]

Bonjour à tous,

Voici un problème sorti tout droit d'un cas concret et je vous avoue que je ne sais pas trop par quel bout le prendre :


Déterminer les entiers naturels : , , , , ..., , tels que :


sachant que tous les k_i sont des constantes connues.

Bonjour,

Peut être que le cas général est trop indigeste alors je propose de simplifier la chose en fixant .
Il vient alors le système d'inéquations suivant :
****************************** *****



Première approche :
****************

En fixant , l'inéquation (1) devient alors :


En fixant , l'inéquation (2) devient :


En fixant , l'inéquation (3) devient :


etc ...

Le soucis c'est qu'à la fin on se retrouve avec des conditions sur les qui n'ont plus rien à voir avec l'hypothèse de départ qui consistait à poser . Ce qui donne donne l'impression de tourner en rond.
Comment aborder sereinement ce type de problème car pour le moment ça semble inextricable ?

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Re,

Les personnes qui ont lu mon message n'ont pas répondu par manque d'intérêt ou pour la raison simple qu'il n'y a pas de solution au problème posé ou pire encore qu'il y en a une infinité (de solutions) et que c'est franchement lourd de toutes les écrire ?

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Salut,

Un ennui avec votre méthode est ceci : évidemment, pour tout i entier compris dans [1,p], on a . Dès le départ, en posant pour i=2,...,p , vous obtenez une condition sur qui est certes vraie, mais plus faible que votre condition de départ. En passant ensuite au cas de , vous tentez de poser une condition sur celui-ci qui n'est plus toujours équivalente à la condition que vous posez sur dans le problème. Le cas s'aggrave au fur et à mesure que nous considérons des i plus grands. À la fin, vous obtenez un nouveau système d'inégalités pas nécessairement plus simple et en fait plus vaste en solutions que le système de départ.

On remarque que votre problème est équivalente à dire que pour tout entier i dans [1,p], avec et . Cela implique en sommant toutes les inégalités que .

Ainsi, si vous n'avez pas que est inférieur à 1, alors il existe au moins un pour lequel . Ainsi, la condition ci-dessus est nécessaire pour que votre système d'inégalités ait une solution.

Par ailleurs, si le plus petit des est plus grand que p-1, alors on peut choisir des valeurs arbitraires pour les . Bref, une certaine connaissance des constantes peut être utile pour préciser le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Par ailleurs, si le plus petit des est plus grand que p-1, alors on peut choisir des valeurs arbitraires pour les .

Je suis allé trop vite ici ; ça implique au moins la solution pour tout i.

[invitefd4e7c09]

Merci pour cette réponse Universus car je commençais sérieusement à douter de moi pour le coup.
Conformément à votre demande, voici les différentes valeurs des constantes mises en jeu ici :















Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Je pensais que les constantes étaient moins précises que ça, plutôt répondant à quelques règles générales, mais bon Dans ce cas, on se rend compte que la somme donne 1,39... qui est supérieur à 1. Ainsi, il n'existe pas d'entiers pour satisfaire à votre système d'inégalités associé à ce choix de constantes.

[invitefd4e7c09]

On remarque que votre problème est équivalente à dire que pour tout entier i dans [1,p], avec et . Cela implique en sommant toutes les inégalités que .

Pour ma part, j'aboutis à un système d'inéquations ou chaque ligne peut s'écrire sous la forme :



Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Je pensais que les constantes étaient moins précises que ça, plutôt répondant à quelques règles générales, mais bon Dans ce cas, on se rend compte que la somme donne 1,39... qui est supérieur à 1. Ainsi, il n'existe pas d'entiers pour satisfaire à votre système d'inégalités associé à ce choix de constantes.

Qu'entendez vous par *moins précises que ça* et par *répondant à quelques règles générales* ?

Si ce que vous dites est vrai alors doit être nécessairement inférieur à .

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Désolé, je vais détaillé ma démarche. Pour chaque i, comme vous le faites remarquer, on a :

où S n'est là que pour alléger la notation. Cela est aussi équivalent à (pour des positifs) , soit ou encore en posant .

Cela doit être vrai pour n'importe quelle valeur de i. Bref, on a p inégalités de la sorte, inégalités qu'on peut toutes sommer :

, soit et en divisant de chaque côté par S on obtient la condition . Bref, votre système d'inégalités implique certaines conditions sur les constantes pour qu'il soit soluble, l'une d'elles étant que 1 est supérieur à la somme des . Dans le cas précis que vous avez fourni, cette condition n'est pas respectée et donc votre système n'est pas soluble (remarquez qu'il n'est même pas soluble pour , puisque dans ce qui précède je n'ai jamais utilisé la condition que les étaient naturels).

Ce que je voulais dire dans mon précédent message, c'est que je pensais que vous n'aviez pas des valeurs spécifiques pour les constantes, mais bien des choses du genre (au hasard) 'les k_i sont relativement premiers deux à deux', etc. Rien de plus. Autrement, je ne vois pas en quoi p devrait être inférieur à 13... a priori, p peut prendre n'importe quelle valeur.

[invitefd4e7c09]

Désolé, je vais détaillé ma démarche. Pour chaque i, comme vous le faites remarquer, on a :

où S n'est là que pour alléger la notation. Cela est aussi équivalent à (pour des positifs) , soit ou encore en posant .

Cela doit être vrai pour n'importe quelle valeur de i. Bref, on a p inégalités de la sorte, inégalités qu'on peut toutes sommer :

, soit et en divisant de chaque côté par S on obtient la condition . Bref, votre système d'inégalités implique certaines conditions sur les constantes pour qu'il soit soluble, l'une d'elles étant que 1 est supérieur à la somme des . Dans le cas précis que vous avez fourni, cette condition n'est pas respectée et donc votre système n'est pas soluble (remarquez qu'il n'est même pas soluble pour , puisque dans ce qui précède je n'ai jamais utilisé la condition que les étaient naturels).

Ok avec ça

Ce que je voulais dire dans mon précédent message, c'est que je pensais que vous n'aviez pas des valeurs spécifiques pour les constantes, mais bien des choses du genre (au hasard) 'les k_i sont relativement premiers deux à deux', etc. Rien de plus.

Et bien pour être plus précis, seuls , , et sont des valeurs que l'on peut prendre au sérieux au sens ou elles sont issues d'une moyenne réalisée sur 3 années de relevés hebdomadaires. Les restant sont indicatifs mais pas trop faux non plus excepté peut être les constantes proches de .
Il n'y a pas de rapport à priori avec les nombres premiers pour ce coup la

Autrement, je ne vois pas en quoi p devrait être inférieur à 13... a priori, p peut prendre n'importe quelle valeur.

Et bien je disait que permet de respecter la condition avec les constantes données précédemment et pour être plus précis on aboutit à pour (cas ou il y a 7 inéquations dans le système) et à pour (cas ou il y a 8 inéquations dans le système)

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

D'accord, je pensais sur le coup que vous donniez un exemple précis d'un problème plus générale (dans quel cas les constantes k_i auraient pu respecter certaines règles générales et dans quel p peut a priori être plus grand que 13). Dans votre cas précis, je ne sais pas trop de quoi il s'agit, mais si en effet on prend p=7 et les 7 premières valeurs que vous avez indiquées pour les k_i, alors cela respecte la condition que j'ai énoncée. Remarquez néanmoins que ce n'est pas parce qu'un ensemble de constantes respecte cette condition que le système est pour autant soluble (i.e. qu'il possède au moins une solution), mais ça laisse du moins la possibilité qu'il le soit.

[invitefd4e7c09]

D'accord, je pensais sur le coup que vous donniez un exemple précis d'un problème plus générale (dans quel cas les constantes k_i auraient pu respecter certaines règles générales et dans quel p peut a priori être plus grand que 13). Dans votre cas précis, je ne sais pas trop de quoi il s'agit, mais si en effet on prend p=7 et les 7 premières valeurs que vous avez indiquées pour les k_i, alors cela respecte la condition que j'ai énoncée.

Les sont de fausses constantes ou pour être plus précis sont des variables qui dépendent de la valeur de (le nombre de partants). Ces sont finalement fixées par les bookmakers et celles que je vous ai présentées sont issues d'une moyenne réalisée sur 3 années d'observation des courses hippiques qui généralement se déroulaient avec un nombre de chevaux (partants) appartenant à .
Inutile de vous préciser que lorsque le nombre de partants est inférieur à 8, les valeurs de se cassent la gueule ou pour être plus précis ces deviennent plus petits et donc la condition à vite fait de ne plus être vraie.

Remarquez néanmoins que ce n'est pas parce qu'un ensemble de constantes respecte cette condition que le système est pour autant soluble (i.e. qu'il possède au moins une solution), mais ça laisse du moins la possibilité qu'il le soit.

Ça c'est intéressant par contre car on sait qu'on ne bernera pas les bookmakers (ils fixent que trop savamment leurs ) mais juste par curiosité mathématique, comment résoudre ce système dans le cas ou ?

[invite93e0873f]

Salut,

Une méthode pour trouver une solution serait la suivante, mais en imposant une condition supplémentaire (du moins, ajouter une précision que vous n'avez jamais faite à propos des constantes) ; elle devrait se généraliser sans trop de difficulté (bien que le raisonnement suivant ne conviendrait plus de façon générale), mais je n'expose ici qu'une façon de procéder pour trouver une solution particulière.

Soient un nombre naturel et un ensemble de nombres rationnels satisfaisant la condition avec (qui est lui aussi rationnel bien sûr).

Sans identifier pour l'instant en quoi cela correspond au problème initial, on cherche un ensemble de p nombres rationnels satisfaisant les conditions suivantes :

- la condition ;
- pour chaque i,

Une façon de faire est de revenir à la condition sur les , multipliée par p :

. Il suffit donc de prendre .

Pour voir en quoi finalement cela correspond au problème initial, écrivons chaque sous sa forme réduite (c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont des entiers relativement premiers).

Ainsi, si on désigne par le plus petit commun multiple de tous les , ce qu'on écrit souvent par , alors est un entier. En fait, est la moyenne des (c'est en fait en écrivant que m'est venu l'idée de considérer les ). On peut facilement montrer que (en fait, les deux conditions sur les sont choisis pour cette raison).

Autrement dit, ce que nous venons de montrer est votre problème a soit une solution, soit n'en a pas (j'avais déjà montré qu'elle condition devait satisfaire les constantes k pour que le problème puisse être possiblement résolu, mais là nous montrons que cette condition est en plus suffisante pour que le problème soit soluble).
Bref, le système d'inégalités est soluble si et seulement si .

Dans la pratique, je ne sais pas si la méthode ci-dessus est vraiment utile pour trouver une solution (en fait, la méthode permet de trouver une infinité de solutions, il suffit de multiplier les par n'importe quel multiple positif de , mais n'est alors plus la moyenne des entiers obtenus).

[invitefd4e7c09]

Dans la pratique, je ne sais pas si la méthode ci-dessus est vraiment utile pour trouver une solution (en fait, la méthode permet de trouver une infinité de solutions, il suffit de multiplier les par n'importe quel multiple positif de , mais n'est alors plus la moyenne des entiers obtenus).

Salut Universus,

Je vais tenter de reprendre votre méthode pas à pas sur un cas concret : le cas ou le nombre de partants et en considérant les jusqu'à donner précédemment.
Lorsque , le système d'inéquation à résoudre est le suivant :



Avant de se lancer dans la résolution d'un tel système, je m'assure que la condition est respectée ce qui est le cas ici puisque . Ce système d'inéquation est donc soluble.
Je précise qu'il s'agit ici de déterminer les valeurs entières des différents


Etape n°1
********
Détermination de tel que :
avec
On aboutit à


Etape n°2
********
Détermination d'un ensemble de 7 nombres rationnels satisfaisant les conditions suivantes :
- la condition ;
- pour chaque i,
Ceci nous amène aux 8 conditions suivantes :

Une façon de trouver ces différents consiste à prendre .
On aboutit donc à :



Etape n°3
********
Réécriture des sous la forme d'une fraction irréductible :



Etape n°4
********
Détermination de .
L'entier est le des dénominateurs des différents déterminer à l'étape n°3.
On aboutit donc à


Etape n°5
********
Détermination des différents sachant que est un entier.
On aboutit alors aux valeurs suivantes :


Je constate que la moyenne des

Ai je oublier quelque chose dans ce petit exercice d'application ?

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Je n'ai pas vérifié tous les calculs, mais chaque étape et ça semble bien être ce que j'ai écrit

[invitefd4e7c09]

Je pense qu'il est possible de s'en sortir (en moyenne) lorsque le nombre de partants .

Dans une telle configuration, le système d'inéquations obtenu n'est pas résolvable car la condition n'est pas respectée.
Néanmoins, en acceptant de perdre un peu d'argent lorsque le 8e cheval le plus joué (au sens du PMU) termine 1er de la course puis en acceptant de perdre un peu plus d'argent lorsque le 9e cheval le plus joué (au sens du PMU) termine 1er de la course puis ... puis en acceptant de perdre le maximum d'argent lorsque le p_ieme cheval (le tocard) le plus joué (au sens du PMU) termine 1er de la course, il doit être possible de trouver une répartition de mises raisonnables.

L'idée c'est d'accepter qu'on ne peut pas jouer tous les chevaux en comptant gagner qu'elle que soit le cheval qui termine 1er car on se retrouve alors avec le système de inéquations qui n'est pas soluble.
Il faut alors accepter de perdre de l'argent mais pas dans n'importe qu'elle configuration. Il faut accepter de perdre plus d'argent lorsque des chevaux que l'on attendait pas (tocards) terminent premier de la course.
On exploite finalement le fait qu'une course hippique n'est pas assimilable à une loterie ou il y a équiprobabilité des tirages.

Reste à mettre tout ceci en (in)équations et ce sera l'objet de mon prochain post.

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Salut,

J'imagine que le prochain poste présentera un système d'inéquations fort semblable où par contre on permet que certains soient plus petits que . Dans ce cas, la méthode précédente se généralise très bien (c'est-à-dire que sans nécessairement trouver toutes les solutions possibles de cette façon, on peut en trouver une bonne partie) en disant que :



où les sont choisis rationnels, mais pas nécessairement tous identiques, ni même tous positifs (en fait, peut lui-même être négatif, mais dans l'application que vous faîtes du problème, c'est une possibilité à écarter). Les sont donc maintenant de la forme . Il est possible de peut-être se simplifier quelque peu la recherche de tels en les écrivant sous la forme et en ajoutant la condition ; le problème est donc de trouver des satisfaisant cette condition.

Néanmoins, votre problème ne consiste certainement pas à ne trouver que des solutions à un certains système d'inéquations, mais aussi à chercher une solution qui optimise le gain. Cela nécessite des contraintes supplémentaires sur les variables à déterminer.

[invitefd4e7c09]

Salut,

J'imagine que le prochain poste présentera un système d'inéquations fort semblable où par contre on permet que certains soient plus petits que . Dans ce cas, la méthode précédente se généralise très bien (c'est-à-dire que sans nécessairement trouver toutes les solutions possibles de cette façon, on peut en trouver une bonne partie) en disant que :



où les sont choisis rationnels, mais pas nécessairement tous identiques, ni même tous positifs (en fait, peut lui-même être négatif, mais dans l'application que vous faîtes du problème, c'est une possibilité à écarter). Les sont donc maintenant de la forme . Il est possible de peut-être se simplifier quelque peu la recherche de tels en les écrivant sous la forme et en ajoutant la condition ; le problème est donc de trouver des satisfaisant cette condition.

Néanmoins, votre problème ne consiste certainement pas à ne trouver que des solutions à un certains système d'inéquations, mais aussi à chercher une solution qui optimise le gain. Cela nécessite des contraintes supplémentaires sur les variables à déterminer.

Salut,

Après m'être creusé la cervelle, j'ai décidé de repartir finalement sur une copie blanche.
Voici ce qu'il en ressort :


1/ Définition des Variables
**********************
: Nombre de partants
: n_ième favoris ou n_ième cheval le plus joué (au sens du PMU)
: Gain unitaire ou rapport généré par la victoire du n_ième favoris
: Gain généré par la victoire du n_ième favoris . On notera que
: Mise sur le n_ième favoris
: Bénéfice réalisé par la victoire du n_ième favoris . On notera que
: Bénéfice intégrale réalisé par la victoire du n_ième favoris lorsqu'on parie sur l'intégralité des chevaux partants. On notera que


2/Mise en équation du problème
****************************
Il s'agit ici de déterminer les mises , , , ..., ainsi que les constantes , , , ..., telles que :



3/Prise en compte de la côte
***************************
Lors d'une course hippique on observe qu'en moyenne les chevaux les mieux cotés se hissent à la première place plus souvent que les autres chevaux partants. Il serait donc judicieux de tenir compte de la côte des partants pour fixer les différentes valeurs des . L'idée serait probablement de fixer des en cas de victoire de gros outsiders et tocards.


4/Cas concret
*************
On se place dans une course ou il y a 13 chevaux au départ ().
On notera qu'une victoire de conduit pour n=1 à 13 aux égalités suivantes :


Le système devient alors en cas de victoire de :


Le système devient alors en cas de victoire de :


Le système devient alors en cas de victoire de :


etc...

Je ne sais pas si cette façon de présenter les choses est suffisamment claire mais c'est ainsi que je le vois.

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Salut,

Je ne sais pas si votre condition est la condition qui est la meilleure pour espérer gagner ; je comprends l'idée derrière cette condition, mais puisque le gain réel à la fin de la course est où est le delta de Kronecker, utilisé ici en interprétant j comme étant le numéro du coureur gagnant. Vu autrement, vous considérez en quelque sorte (pas tout à fait, mais a priori) que tous les chevaux ont autant de chance de gagner, ce qui bien sûr étonnant.

Néanmoins, on peut analyser le problème posé. J'écrirai pour votre . Je note encore .

On veut que

Je ne sais pas si vous êtes familier avec les vecteurs, mais on peut voir la dernière somme comme le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace . En notant et , on a . Le passage par ces vecteurs a de prime abord pour but de visualiser le fait qu'il existe une infinité de vecteur M (qui est l'inconnu dans les deux) ayant un produit scalaire positif avec U. Pour le visualiser, supposez que p=3 ( est donc l'espace tridimensionnel familier). U est un vecteur dans l'espace et tous les vecteurs M satisfaisant la condition font un angle avec U plus petit que 90°. Par contre, il y a une condition supplémentaire à ajouter qui est que chaque composante du vecteur M ne peut être négative (autrement dit, vous ne pouvez miser un montant négatif sur un cheval, le plus bas étant de ne rien miser dessus). Cela restreint les possibilités pour M.

Le problème est que pour les chevaux les plus populaires, et donc miser trop sur eux a pour effet, si on veut que le produit scalaire soit positif, de devoir miser aussi pas mal sur les chevaux les moins populaires (qui ont ).

En guise d'exemple, puisque n'est pas négatif que pour i>6, vous pourriez ne rien miser sur les 6 favoris et miser ce que vous voulez sur les autres, de telle sorte que votre condition sera vérifiée. Seulement, cette stratégie n'est clairement pas la plus sécuritaire.

Tout cela pour dire que cette condition ne me semble pas la plus appropriée afin de formaliser le problème que vous vous posez. Je suis quelque peu curieux de la déterminer, mais je ne promets pas d'y réfléchir beaucoup.

[invitefd4e7c09]

Salut,

Je ne sais pas si votre condition est la condition qui est la meilleure pour espérer gagner

Oui clairement puisqu'elle conduit à un bénéfice positif et cela quelque soit le cheval qui se hisse premier. Le seul hic (et de taille) c'est que cela n'est pas possible dans la réalité de trouver une répartition des mises qui assure ce bénéfice.

je comprends l'idée derrière cette condition, mais puisque le gain réel à la fin de la course est où est le delta de Kronecker, utilisé ici en interprétant j comme étant le numéro du coureur gagnant. Vu autrement, vous considérez en quelque sorte (pas tout à fait, mais a priori) que tous les chevaux ont autant de chance de gagner, ce qui bien sûr étonnant.

Pas du tout et c'est même le contraire que j'expliquai un poste plus haut. J'essais justement de jouer sur le fait qu'il n'y a pas equiprobabilité des tirages (en assimilant un tirage à une victoire) dans le cadre d'une course hippique.

Je ne sais pas si vous êtes familier avec les vecteurs, mais on peut voir la dernière somme comme le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace . En notant et , on a . Le passage par ces vecteurs a de prime abord pour but de visualiser le fait qu'il existe une infinité de vecteur M (qui est l'inconnu dans les deux) ayant un produit scalaire positif avec U. Pour le visualiser, supposez que p=3 ( est donc l'espace tridimensionnel familier). U est un vecteur dans l'espace et tous les vecteurs M satisfaisant la condition font un angle avec U plus petit que 90°. Par contre, il y a une condition supplémentaire à ajouter qui est que chaque composante du vecteur M ne peut être négative (autrement dit, vous ne pouvez miser un montant négatif sur un cheval, le plus bas étant de ne rien miser dessus). Cela restreint les possibilités pour M.

C'est exactement ça, les composantes du vecteur M (bref les ) sont des valeurs positives ou nulles et même des entiers naturelles. Contrairement à cela, les sont des réels.

Le problème est que pour les chevaux les plus populaires, et donc miser trop sur eux a pour effet, si on veut que le produit scalaire soit positif, de devoir miser aussi pas mal sur les chevaux les moins populaires (qui ont ).

Qu'a cela ne tienne
Ca ce n'est pas un problème.

En guise d'exemple, puisque n'est pas négatif que pour i>6, vous pourriez ne rien miser sur les 6 favoris et miser ce que vous voulez sur les autres, de telle sorte que votre condition sera vérifiée. Seulement, cette stratégie n'est clairement pas la plus sécuritaire.

Ca va a contrario de ce que je cherchais à obtenir à savoir gagner presque tout le temps lorsque les gros outsiders ou les tocards ne finissent pas premier et perdre raisonnablement si ces derniers bougres parviennent à se hisser en tête.

Tout cela pour dire que cette condition ne me semble pas la plus appropriée afin de formaliser le problème que vous vous posez. Je suis quelque peu curieux de la déterminer, mais je ne promets pas d'y réfléchir beaucoup.

Oui c'est un problème assez ennuyeux et peu académique et je pense d'ailleurs que c'est difficilement formalisable. Ca va surement se finir à coup d'essais numériques à tatons pour parvenir à un système de mises raisonnables.
Maintenant que j'y pense, j'avais tort d'inclure dans mon système l'inéquation : puisque justement j'accepte de perdre raisonnablement de l'argent lorsqu'un gros outsider ou un tocard vient à finir premier.

Cordialement
Anthony

[invite93e0873f]

Salut,

J'ai l'impression que le début et la fin de votre dernier message ne s'accordent pas, mais malgré cela laissez-moi commenter le début de ce dernier message.

Dans votre avant-dernier message, dans la section 'cas concret', remarquez que le premier exemple plus générique ne s'accorde pas avec les trois suivants (vos ne sont pas exemple jamais définis de la même façon d'un exemple à l'autre).

Dans le premier exemple, vous dites que pour tout i, (ce qui totalise p conditions) (et on peut ajouter, même si vous ne l'avez pas fait, la condition ). Mon message précédent a eu pour but de dire qu'un tel système est généralement soluble, mais cela mène assez facilement à considérer des mises comme «ne rien parier sur les favoris et tout sur les 'tocards'».

Seulement, dans les exemples qui suivent (du style 'le n-ième coureur gagne la course') votre système devient pour tout i, et encore . Déjà, ce système n'est pas du tout le même que précédemment (bon, il est vrai que j'ai créé précédemment un système que vous n'aviez pas créé), mais en plus il n'est pas généralement soluble (car qui est généralement plus petit que 0). En fait, un tel système dit que vous perdez p fois ce que vous avez misé en tout sur tous les coureurs, ce qui est clairement une erreur. Cela est donc problématique.

La réalité est qu'en prenant les comme étant , alors une fois la course terminée vous vous trouverez avec un bénéfice correspondant à un seul , soit celui pour lequel i=n (n étant le numéro du gagnant). Dit autrement, vous avez pour bénéfice réel .

[invitefd4e7c09]

La réalité est qu'en prenant les comme étant , alors une fois la course terminée vous vous trouverez avec un bénéfice correspondant à un seul , soit celui pour lequel i=n (n étant le numéro du gagnant). Dit autrement, vous avez pour bénéfice réel .

Vous avez entièrement raison, je me suis emmêlé les pinceaux avec toutes ces (in)équations. Je reprends donc mon cas concret ou il y a partants au départ et ou le 7eme cheval le plus joué (au sens du PMU) vient à finir premier de la course.

Le bénéfice final est le suivant :
***********************



Et la clairement, on comprend vite que ce que l'on gagne dépend directement de ce que l'on mise (les ).
L'idée c'était de fixer à l'avance ce que l'on gagne (les ) quitte à ce qu'ils soient négatifs (cas d'une perte) en cas d'arriver de tocard pour mieux déterminer les mises qui sont des entiers naturels.

J'espère que j'ai rectifié le tir en terme de compréhension car c'est vrai que j'étais à côté avec toute mon artillerie.

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

Re,

Je me suis penché sur cette histoire de répartition des mises et plus particulièrement sur le système d'inéquations dont vous aviez proposé une méthode de résolution.
A la lumière de cette méthode, je me suis attaqué à un cas très concret : le quinté+ de dimanche dernier à Vincennes et la coup de théâtre, le fait de définir des mises entières (et non des réels) aboutit à des pertes là ou des réels conduisent à des bénéfices

Que se passe t il ?

Cordialement
Anthony