exo de théorie des fonctions

[Bartolomeo]

Bonjour,

J´ai besoin d´aide pour cet exo, dont je n´ai de correction.
Dans cet exercice on me demande de montrer qu´il existe une fonction holomorphe sur , tel que pour tout



Cordialement.
Bart
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[invite4ef352d8]

Salut !

euh... et pourquoi pas : f(z) =exp(2z) * (exp(z)-2) ?

[ericcc]

plutot (exp(z)-1)²*exp(z) non ?

[Armen92]

Bonjour,

J´ai besoin d´aide pour cet exo, dont je n´ai de correction.
Dans cet exercice on me demande de montrer qu´il existe une fonction holomorphe sur , tel que pour tout



Cordialement.
Bart

Je comprends mal la question, sans doute : montrer qu'une fonction est holomorphe est équivalent à démontrer qu'elle est -différentiable, c'est-à-dire qu'elle satisfait les conditions nécessaires et suffisantes de Cauchy-Riemann.
Pour cela, il est nécessaire que possède une partie réelle et une partie imaginaire, et qu'elle soit définie dans un domaine de .
Ici, votre fonction n'est définie que sur (qui n'est pas un domaine) et est à valeurs réelles...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ericcc : tu voulais surement dire : ((exp(z)-1)² -1)*exp(z) ? certe, mais la mienne marche aussi car (1/n² -1) = (1/n - 1) (1/n+1) (elles sont très probablement même égale ^^ )


Armen92 : relis bien le message, il n'est pas question ici de montrer qu'une certaine fonction est holomorphe. Mais de montrer qu'il existe une certaine fonction holomorphe (qu'on ne défini pas) qui vérifie une certaine relation...

[Bartolomeo]

Merci beaucoup à vous tous!

[Bartolomeo]

une petite précision! Pourquoi n´y a t´il pas d´autres fonctions f qui marchent? Peut on prouver que f(z) =exp(2z) * (exp(z)-2) est la seule fonction qui marche?

[Bartolomeo]

Voila mon idée: si je trouve une valeur d'adhérence pour l´ensemble où est une fonction pour laquelle . Alors !
Jusque là ca devrait être bon puisque est un ouvert.
Si je prends la limite pour alors alors -1 est une valeur d´adhérence ce qui implique f=g.
Qu´en pensez vous?

[invite4ef352d8]

c'est le bon théorème, mais tu te trompe dans son application :
on a f(z)=g(z) pour tout z de la forme log(1+1/n) et l'ensemble des log(1+1/n) a un point d'accumulation : 0 (la limite quand n-> l'infini)

toi ce que tu regarde, c'est la limite des valeurs... c'est rassurant que ca existe car la fonction doit être continu, mais ca n'amène aucune contradiction...