Démonstration dans l'espace.

[Elie520]

Bonsoir.

Je me demande comment pourrait-on démontrer, dans l'espace la propriété suivante :
Pour tout couple de droites d et d' de l'espace, il existe un unique couple de plans P et P' les incluant respectivement, avec P parallèle à P' (on peut exclure le cas trivial ou d et d' sont coplanaires).

Toute piste serait la bienvenue, merci d'avance
Cordialement.
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[Seirios]

Bonjour,

Pour l'existence : en considérant comme un espace affine, on introduit et des vecteurs directeurs de d et d' ; alors et . Les plans et conviennent alors.
L'unicité ne doit être difficile à montrer.

[Elie520]

Je ne connais pas la notion d'espace affine, mais je crois comprendre ta démonstration. En fait, les notation que tu utilise et qu'on nous interdit au lycée, sont très pratiques (une droite=un point + un vecteur).
Mais si on arrivait à déterminer un vecteur n(x,y,z) normal à ces plans, et qu'on démontre que tous les autres on des coordonnées proportionnelles à celui-ci, alors le tour serait joué pour l'unicité non ?

Donc si on a et

Alors : ax+by+cz=0 et a'x+b'y+c'z=0.
D'où : (ka+k'a')x+(kb+k'b')y+(kc+k'c' )z=0 avec .

Notons A=(ka+k'a'), B=(kb+k'b') et C=(kc+k'c'). On a alors Ax+By+Cz=0.

Alors : convient.

Mais après.... ? Je bloque. Ou alors je ne me suis pas lancé dans le bon type de démonstration (peut-être plutôt par l'absurde comme la plupart des démonstration d'unicité...)

En fait, pour ne as s'embêter avec toutes ces lettres, cela revient à démontrer que si on a Ax+By+Cz=0 les couples de solutions (x,y,z) diffèrent juste d'un coefficient. Mais là je ne vois pas...

[Seirios]

Si on considère deux plans et (avec les mêmes notations que dans mon message précédent) qui conviennent, alors nécessairement (ce qui traduit le parallélisme) ; si on exclut le cas où les deux droites sont parallèle, alors on en déduit et , donc on retrouve nécessaire nos plans précédents.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elie520]

Je ne comprends pas trop pourquoi tu en déduis ca, mais ok Mais il y a moyen de faire avec le début de mon raisonnement ou c'est fichu ?

[Seirios]

A vrai dire je ne vois pas très bien où tu veux en venir avec ton raisonnement ; qu'essaies-tu de montrer exactement ?

[Elie520]

Bon en fait, mon raisonnement, c'est plutôt pour l'existence ^^ Donc je ne risque pas d'aboutir à l'unicité...