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19/06/2010 - 05h27 21did21 
Lax Milgramm
Bonjour tous,
Recemment j'ai suivi une discussion sur la formulation variationelle (faible) d'une equation mais par contre à present je bloque sur un truc:
Lax Milgramm
C'est un theoreme qui permet de verifier l'unicité de la solution par contre je ne suis pas tres matheux et tous se que je trouve sur le net je ne comprends pas.
Pourriez vous m'expliquer svp?
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19/06/2010 - 13h41 G.Scott 
Re : Lax Milgramm
Soit un espace de Hilbert (H, <.,.>) (Evn complet pour cette norme), alors le théorème de représentation de Riesz dit que pour toute forme linéaire continue a, on a l'existence et l'unicité de u tel que
 = <u,v> ) .
On peut réécrire ça sous la forme :  , où H* est le dual topologique de H (formes linéaires continues).
Le théorème de Lax-Milgram dit que pour toute forme bilinéaire b continue et coercive (i.e. vérifie une inégalité de coercivité :  \geq \alpha ||u||^2 ) , où  > 0), alors on a la propriété suivante :
 = <f, v> ) .
En utilisant le premier théorème, on sait qu'il existe un opérateur B linéaire, continu tel que  = <Bx, y> ) .
Lax-Milgram te dit alors que B est bijectif.
Tu peux en effet utiliser ce résultat pour montrer l'unicité de solution d'équations, mais il faut à tout prix vérifier l'hypothèse de coercivité.
En espérant t'avoir aidé.
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19/06/2010 - 15h38
Re : Lax Milgramm
Salut,
je suis pas convaincu que Lax-Milgramm (ce sont des gens encore vivant sauf erreur de part, bref) soit le meilleur outil pour obtenir des solution d'EDP, bien que ce soit souvent ce qu'on enseigne en maitrise. C'est pas le plus utilisé et ca ne fonctionne que pour un espace de Hilbert... H^1, et W^{1,p} alors ???
Par exemple pour  ) , cherchons une fonction  ) telle que
On considèle le problème variationnel
} \left\{ \int_\Omega |\nabla u|^2 \ : \ \int_\Omega fu = 1 \right\} )
Soit _{n\in \mathbb N} ) une suite minimisante, c'est-à-dire telle que
Comme  est l'infimum de quantités positives finies, c'est une réel finie. Et la première limite montre que _{n\in \mathbb N } ) est bornée dans  ) . Et par inégalité de Poincaré, on en déduit que  _n ) est bornée dans  ) . Donc _{n\in \mathbb N } ) est bornée dans  ) . En utilisant la refléxivité de cette espace ainsi que l'injection compacte  \subset L^2 (\Omega) ) du théorème de Rellich-Kondrachov, on obtient l'existence d'une fonction  ) telle que
(i) u_n converge vers u faiblement dans  )
(ii) u_n converge vers u fortement dans
a sous-suite près. Par faible semi-continuité inférieure, la première convergence montre que
Et pour avoir l'inéglité inverse, il suffit de vérifier que
Cela provient de Cauchy-Schwartz et de la seconde convergence. puisqu'on a
 } ||u_n -u||_{L^2 (Omega) } \ \to 0 )
Finalement
Donc le problème de minimisation est atteint par la fonction  ) . Ensuite, il est facile de montrer que cette fonction vérifie (presque) l'EDP. Plusieurs méthode : un calcul à la main, ou les multiplicateurs de Lagrange. Par exemple (avec multiplicateur de Lagrange), il existe  telle que
 , \ \ \ \int_\Omega \nabla u \nabla \varphi = \alpha \int_\Omega f \varphi )
Avec phi = u , on obtient facilement que mu = alpha. Et finalement
 , \ \ \ \int_\Omega \nabla u \nabla \varphi = \mu \int_\Omega f \varphi )
Donc
et la fonction v = u/mu convient !!! Voila la méthode (longue) mais la plus générale, et qui ne cache les vrai arguments (reflexivité et Rellich-Kondrachov) derrière un thm.
Par la même méthode, tu peux résoudre facielement le problème
 } \left\{ \int_\Omega |\nabla u |^2 \ \ | \ \ \int_\Omega |u|^2 = 1 \right\} )
ce qui va te de donner une fonction propre pour la plus petite valeur propre strictement positive du laplacien.
Et surtout cette méthode se généralise de  à des équations sur  ) avec p>1. Par exemple, si tu considère
 } \left\{ \int_\Omega |\nabla u|^p \ \ | \ \ \int_\Omega fu =1 \right\} )
tu va obtenir une solution de l'EDP
 = f & \mbox{ dans } \Omega \\ u = 0 & \mbox{ sur } \partial \Omega \end{array} \right. )
pour } (\Omega) ) L'opérateur
 )
s'appelle le p-laplacien. Et c'est un généralisation naturelle du laplacien, puique pour p=2...
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19/06/2010 - 15h44
Re : Lax Milgramm
Une bonne référence les pour EDP elliptiques non linéaires : "Espaces fonctionnels, utilisation dans la résolution des EDP", de Francoise Demengel
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19/06/2010 - 15h50
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19/06/2010 - 19h48 21did21
Re : Lax Milgramm
 Envoyé par G.Scott  Soit un espace de Hilbert (H, <.,.>) (Evn complet pour cette norme), alors le théorème de représentation de Riesz dit que pour toute forme linéaire continue a, on a l'existence et l'unicité de u tel que .
On peut réécrire ça sous la forme : , où H* est le dual topologique de H (formes linéaires continues).
Le théorème de Lax-Milgram dit que pour toute forme bilinéaire b continue et coercive (i.e. vérifie une inégalité de coercivité : , où > 0), alors on a la propriété suivante : .
En utilisant le premier théorème, on sait qu'il existe un opérateur B linéaire, continu tel que .
Lax-Milgram te dit alors que B est bijectif.
Tu peux en effet utiliser ce résultat pour montrer l'unicité de solution d'équations, mais il faut à tout prix vérifier l'hypothèse de coercivité.
En espérant t'avoir aidé. je n'ai pas vraiment compris je t'avous car mon niveau mathematique est trop faible.
En faite je suis plus physicien que matheux....
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19/06/2010 - 19h49 21did21
Re : Lax Milgramm
merci beaucoup XAV pour ta reponse super complete!
je vais essayer de comprendre et si j'ai des questions je te dirais.
merci bcp!
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19/06/2010 - 19h55 21did21
Re : Lax Milgramm
Envoyé par xav75 Et l'unicité, ce serait dommage d'invoquer un thm, c'est tellement simple : si considére u,v deux solutions de ton ËDP. Alors, en prenant la différence des deux équations, tu as  = 0 )
On multiplie par u-v et on intégre par parties (formule de Grenn). Cela donne |^2 = 0 )
Donc =0 ) . Et comme u-v = à sur le bord, on récupère u-v=0 ! pour cela j'ai bien compris, mais cette méthode peut etre employée pour toutes les EDP?
Sinon consernant lax milgram, c'est un peu compliqué pour moi, je vais essayer d'approfondir je pense avec le livre que tu m'as indiqué.
merci beaucoup pour ton aide!
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19/06/2010 - 20h30
Re : Lax Milgramm
Bah cette méthode est générale.... bon dire qu'elle marche tout le temps, ce serait un peu s'enflammer !
Dans le livre que je te conseille, on n'utilise pas Lax-Milgramm. Moi non plus, je ne l'utilise jamais (forcément, ma formation EDP est entièrement dûe à l'auteur de ce bouquin !). Je vais y réfléchir et si d'ici les prochains jours personne ne te donne de réponsé détaillée, je le ferai.
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20/06/2010 - 12h26 21did21
Re : Lax Milgramm
merci xav mais pas la peine de trop de casser la tete car ca à l'air un peu dur pour moi je ne pense pas que je comprendrais
en tout cas merci beaucoup pour tout
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