Représentation irréductible en dimension finie de U(1)

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre cet exercice :

Montrer que toute représentation irréductible de dimension finie du groupe est unidimensionnelle et caractérisée par un entier relatif.

Je ne sais pas exactement ce qui entendu par unidimensionnelle, mais je l'ai compris ainsi :

En considérant une représentation T irréductible de dimension finie de , on a , donc en utilisant le lemme de Schur, il existe telle que . Donc je dirais que la représentation est bien unidimensionnelle, mais je ne sais vraiment si c'est ce que voulait dire l'exercice.

Ensuite, pour montrer T est caractérisée par un entier relatif, il faut certainement se pencher sur , et on remarque que , donc j'ai envi de dire que (ce qui serait facile de montrer si était dérivable en 1, mais je cherche encore pour prouver cette expression), et peut-être que (mais je ne vois pas pourquoi cette dernière affirmation serait vraie).

Déjà, êtes-vous d'accord avec la première partie ?

Merci d'avance,
Phys2
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[am2004]

La première partie est correcte. Donc tu peux considérer que les seules représentations du groupe du cercle sont à valeurs complexes.
Pour avoir une idée de la suite de l'argument qui utilise le fait que le cercle est un groupe topologique compact, regarde :http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group et http://en.wikipedia.org/wiki/Peter-Weyl_theorem
(pour la généralisation aux groupes compacts)
Attention il faut lire wikipedia en anglais, c'est bien meilleur qu'en français (en général).

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre cet exercice :

Montrer que toute représentation irréductible de dimension finie du groupe est unidimensionnelle et caractérisée par un entier relatif.

Je ne sais pas exactement ce qui entendu par unidimensionnelle, mais je l'ai compris ainsi :

En considérant une représentation T irréductible de dimension finie de , on a , donc en utilisant le lemme de Schur, il existe telle que . Donc je dirais que la représentation est bien unidimensionnelle, mais je ne sais vraiment si c'est ce que voulait dire l'exercice.

Ensuite, pour montrer T est caractérisée par un entier relatif, il faut certainement se pencher sur , et on remarque que , donc j'ai envi de dire que (ce qui serait facile de montrer si était dérivable en 1, mais je cherche encore pour prouver cette expression), et peut-être que (mais je ne vois pas pourquoi cette dernière affirmation serait vraie).

Déjà, êtes-vous d'accord avec la première partie ?

Merci d'avance,
Phys2

[invite4ef352d8]

Salut !

Unidimensionnelle signifie que l'espace vectoriel sous jacent à la représentation est de dimension 1. donc tu as pas tous à fait fini, mais presque ^^


pour la deuxième partie, ce qu'ils veulent dire que lambda(t) =exp(ikt) pour un certain entier k... mais à priori c'est faux sans une hypothèse de continuité de la représentation...

[Seirios]

Pour avoir une idée de la suite de l'argument qui utilise le fait que le cercle est un groupe topologique compact, regarde :http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group et http://en.wikipedia.org/wiki/Peter-Weyl_theorem
(pour la généralisation aux groupes compacts)

Donc on déduit directement de la compacité de que pour toute représentation : ? Je ne vois pas très bien comment...

Unidimensionnelle signifie que l'espace vectoriel sous jacent à la représentation est de dimension 1. donc tu as pas tous à fait fini, mais presque ^^

C'est-à-dire que ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Phys2 :


C'est-à-dire que [...] >>> non. ca veut dire que l'espace sous jacent à la représentation est de dimension 1. l'espace sous jacent, c'est l'espace sur lequel agissent les rho(g)... quand tu ecrit rho(exp(ix))=lambda(x).Id, ba c'est l'identité, c'est l'identité de quel espace ? ba faut que tu montre que cet espace est de dimension 1...



pour l'autre question, comme je l'ai dit il faut supposer la représentation continu pour que ca marche... si elle est continu alors rho(U(1)) est un sous groupe compact de C*, donc c'est inclu dans U(1)...

[Seirios]

C'est-à-dire que ?

Je n'ai rien dit, cette écriture n'a pas de sens...Qu'entends-tu par sous-espace vectoriel associé à une représentation ?

[invite4ef352d8]

Cf le message précèdent, là je vois vraiment pas quoi dire de plus : une représentation c'est un couple (rho,V) ou rho est un morphisme de G->GL(V), ba l'espace vectoriel sous-jacent, c'est V.

[am2004]

@Phys2 : comme tu l'as démontré via le lemme de Schur, tu n'as qu'un seul paramètre lambda. Donc l'image de la représentation est incluse dans un sous-espace vectoriel de dimension 1 (celui des matrices
diagonales constantes).

Cf le message précèdent, là je vois vraiment pas quoi dire de plus : une représentation c'est un couple (rho,V) ou rho est un morphisme de G->GL(V), ba l'espace vectoriel sous-jacent, c'est V.

[Seirios]

Cf le message précèdent, là je vois vraiment pas quoi dire de plus

En fait j'ai écrit mon message en même temps que le tiens, donc j'ai bien la réponse à ma question. Je reprends tout ça et je reviens.