Dimension de l'espace des solutions d'une équation différentielle

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir : l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre n est-il toujours de dimension n ? Je dirais que c'est le cas, mais comment le démontrer ? J'ai pensé à écrire le problème sous la forme , puis à essayer de diagonaliser A pour se ramener à des équations d'ordre 1, mais je ne pense pas que la méthode puisse aboutir simplement, puisqu'elle me semble dépendre de la matrice P telle que (avec D diagonale).

Vous auriez une (idée de) démonstration sous la main ? (ou un contre-exemple ?)

Sinon, qu'en est-il pour des équations différentielles non-linéaires ?

Merci d'avance,
Phys2
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[KerLannais]

Salut,

Oui, l'espace des solutions est toujours de dimension , il n'y a pas vraiment de preuve "élémentaire". D'abord toutes les matrices ne sont pas diagonalisables, on doit pouvoir éventuellement s'en sortir en se plongeant dans et en trigonalisant. La méthode classique consiste à dire que d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz le problème de Cauchy

a une unique solution globale (puisque toute application linéaire en dimension finie est globalement lipchitzienne) pour tout . Si tu prends une base de et si tu considère la famille des solutions associées (on a donc solution du problème de Cauchy avec pour condition initiale ) alors cette famille est une base de l'ensemble des solutions. La preuve est simple, cette famille est libre puisque si

est une relation de dépendance llinéaire alors naturellement (en évaluant en 0)

ce qui impose par liberté de la famille des que les sont tous nuls. Cette famille est génératrice puisque si est une solution de l'équation, on note sa valeur en , puisque la famille des est génératrice il existe des tels que

Il est clair que

est une solution de l'équation (puisqu'elle est linéaire) et qui vérifie bien entendu

Par unicité de la solution du problème de Cauchy on a donc


Pour ce qui est des équations non linéaires, l'espace des solution n'est jamais un espace vectoriel et donc cela n'a pas de sens de parler de sa dimension.

[Seirios]

Merci bien