Equation linéaire récurrente

invite87ed8069 · 28/06/2010, 19h25

Bonjour,
j'ai l'équation suivante
2xn+2 + xn+1 - xn = c

je dois trouver la solution d'équilibre, pour ça pas de problème je trouve xe = c/2

Ensuite on me demande :
sachant que Xn = (Xn Xn+1)'
Exprimer (E) par le système récurrent linéaire (d'ordre 1) Xn+1 = AXn + B
Dans la correction je ne comprends pas comment on est arrivé à la matrice :
(xn+1) = (0 1) *(xn) + (0)
(xn+2) = (1/2 -1/2) *(yn) + (c/2)
Si quelqu'un pouvait m'éclairer.

**KerLannais** · 29/06/2010, 14h25

Salut

C'est difficile de comprendre ce que tu n'arrive pas à comprendre, dans ce genre d'exercice la réponse est évidente en général. Peut-être as-tu fais une erreur de calcul et pas trouvé le même résultat. Au cas où voici une correction détaillée à mort:

On pose
$\text{[math]}$
On veut trouver une matrice $\text{[math]}$ (carrée de taille 2x2) et un vecteur $\text{[math]}$ (vertical à deux composantes) tels que
$\text{[math]}$
sachant que
$\text{[math]}$
et que on veut pouvoir prendre n'importe quelles valeurs pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Puisqu'a priori la réponse ne nous saute pas aux yeux, on considère les coefficients de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ comme des inconnues à déterminer. On note
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On va expliciter $\text{[math]}$ en fonction des $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Si dans $\text{[math]}$ on fait $\text{[math]}$ on trouve
$\text{[math]}$
On peut alors faire $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et on trouve
$\text{[math]}$
On calcule le produit matrice vecteur
$\text{[math]}$
On calcule
$\text{[math]}$
En utilisant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on peut réécrire $\text{[math]}$ sous la forme
$\text{[math]}$
Soit encore, puisque deux vecteurs sont égaux que s'ils ont mêmes composantes
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On réécrit $\text{[math]}$ pour la mettre sous la même forme que $\text{[math]}$ . On fait passer le $\text{[math]}$ de l'autre côté en changeant de signe
$\text{[math]}$
On fait de même avec le $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Enfin on divise par $\text{[math]}$ de chaque côté
$\text{[math]}$
D'après $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
Ecrivons $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
Puisque l'on veut que $\text{[math]}$ soit vérifiée pour n'importe quelle valeur de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , elle doit être vérifiée pour $\text{[math]}$ , on a donc
$\text{[math]}$
En utilisant $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$ [/TEX]
En prenant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ on trouve
$\text{[math]}$
En utilisant $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et en prenant $\text{[math]}$ on trouve
$\text{[math]}$
On écrit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et on a
$\text{[math]}$
Soit encore
$\text{[math]}$
En prenant $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
En utilisant $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
En prenant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
En utilisant $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et en prenant $\text{[math]}$ on trouve
$\text{[math]}$
soit
$\text{[math]}$
D'après $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
D'après $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
En remplacant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$
Puis en utilisant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$

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