Démonstration "simple" du théorème de Shannon

[DrDam]

Bonjour à tous,

Voila, je compte utiliser le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, dans un projet plutôt orienté biologie.

En gros je l'utilise pour dire que si on rend discret un ensemble de phénomènes continue, il faut le faire en prenant comme "fréquence de battement d'horloge" au moins le double de la fréquence du phénomène le plus rapide => paraphrase du théorème.

donc dans mon document, je voudrais mettre en annexe une démonstration du dit, mais toutes celles que j'ai trouvés sont soit totalement hors de ma portée, soit "peu" précise ( saut d'étapes .... )

actuellement j'essaye de reconstruire la démonstration à partir de celles présentent là, là et là ... mais je suis largué par certaines notations ... ( je me suis arrêté à une prépa bio)

merci à vous ...
-----

[acx01b]

salut voilà comment je ferais :

tu commences par montrer que la transformée de fourier du sinus cardinal est la fonction porte

ensuite tu supposes que ta fonction g(t) est à support fréquentiel borné [-1/2,1/2] :


enfin tu montres que en posant


on a bien h(t) = g(t)

[DrDam]

tu commences par montrer que la transformée de fourier du sinus cardinal est la fonction porte

la fct "porte" ?

ensuite tu supposes que ta fonction g(t) est à support fréquentiel borné [-1/2,1/2] :

mon signal est l'intégration des fréquences sur [-1/2,1/2] ?

enfin tu montres que en posant

"sinc" ???

on a bien h(t) = g(t)

donc que g() est l'expression de h() sur intervalle [-1/2,1/2] ?

[acx01b]

désolé je pensais que tu étais familié des transformées de fourier

pour simplifier on discrétise tous les 1, et donc la plus grande fréquence présente doit être 1/2

h = g sur tout R

sinc : sinus cardinal
là je m'inquiète, pour prouver le théorème de shannon la fonction sinus cardinal est essentielle

[A voir en vidéo sur Futura]

[DrDam]

j'ai un bagage de bio ( école d'agro) et l'informatique c'est essentiellement en autodidacte ..... désolé ..

je pourrais coller tel quel la démonstration ( tel qu'elles existent) mais j'aime comprendre ... .

pour le sinc ... je comprend l'intéret ... ( comme pour la transfo de Fourrier)

[MMu]

Regarde par exemple
http: fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9c hantillonnage_de_Nyquist-Shannon

L'idée de base est que le spectre d'un signal échantillonné à est obtenu par l'addition du spectre initial translaté d'un multiple de :
, étant un coefficient de normalisation (d'habitude ).

On peut très bien sous-échantillonner un signal, pourvu que l'échantillonnage n'entraine pas un recouvrement de spectre.
Par exemple si l'on sait que spectre du signal est seulement entre et ( et donc aussi entre et )
on peut échantillonner à sans qu'il ait perte d'information (mais à la restitution il faut faire le décalage fréquentiel adéquat)

[DrDam]

@MMu : après je suis pas sur que la démonstration "simple" présenté au début de l'article soit bien "robuste" ... si ?
ça parait "acceptable" ?

[acx01b]

en gros tu as 2 possibilités qui sont mathématiquement équivalentes mais conceptuellement un peu différentes :
- soit tu fais comme je disais et la seule difficulté mathématique est de "montrer que la TF du sinus cardinal est la fonction porte"
- soit comme a dit MMu tu montres que le spectre de la fonction est connu même après discrétisation, et donc tu t'appuies sur le fait que connaitre le spectre implique qu'on connait la fonction

[DrDam]

merci à vous deux

A là réflexion, je pense que je vais mettre 2 démonstrations :

- une "pratique" ( plutot simple à comprendre et que je trouve pas trop "biaisée")
=> Considération élémentaires

C'est sans doute assez limite comme démonstration, mais je trouve qu'elle est clair pour ceux qui ont pas un haut niveau de maths ...
A ce sujet, elle est juste ? où elle ne démontre rien ?

- une deuxiemme plus "complexe" mais mathématiquement plus juste : => là

voue en pensez quoi comme choix ?

[b@z66]

merci à vous deux

A là réflexion, je pense que je vais mettre 2 démonstrations :

- une "pratique" ( plutot simple à comprendre et que je trouve pas trop "biaisée")
=> Considération élémentaires

C'est sans doute assez limite comme démonstration, mais je trouve qu'elle est clair pour ceux qui ont pas un haut niveau de maths ...
A ce sujet, elle est juste ? où elle ne démontre rien ?

- une deuxiemme plus "complexe" mais mathématiquement plus juste : => là

voue en pensez quoi comme choix ?

Personnellement, je te dirais de jeter un coup d'oeuil à un cours "élémentaire" de traitement du signal: série de Fourrier, transformée de Fourier, théorème d’échantillonnage... Le bagage mathématique utilisé est assez basique pour un post-bac et se résume essentiellement à des intégrales avec variables muettes(ou non muettes) et quelques signes "somme" par ci, par là. Utiliser un théorème sans même vraiment bien comprendre les bases qui le sous-tendent est un peu casse-gueule(et encore plus dans un projet), c'est la meilleure façon de montrer que l'on ne comprend pas ce que l'on fait.

[b@z66]

http://www.cpge-brizeux.fr/casiers/f...exeFourier.pdf

[gg0]

Plus de trois ans après, ces conseils seront peu utiles à DrDam

[b@z66]

Plus de trois ans après, ces conseils seront peu utiles à DrDam

Sorry, pas vu!!!