Groupe Libre. J'ai du mal :(

[inviteedb1f4ef]

Bonjour, j'ai quelques difficultés à saisir la notion de groupe libre sur un ensemble en théorie des groupes.

Je le vois un peu, peut-être à tord, comme la notion de base dans les espaces vectoriels. C'est à dire en gros que la famille et ses éléments inverses doit être génératrice du groupe, et qu'un élément de la famille de doit pas pouvoir être obtenu comme combinaison (par la loi du groupe) des autres éléments de la famille et de leurs inverses.

Apperement est libre, mais ne l'est pas.

Je veux bien comprendre pourquoi le premier est libre, mais qu'est-ce qui rend le second non libre ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour

Je veux bien comprendre pourquoi le premier est libre, mais qu'est-ce qui rend le second non libre ?

Parce que ne contient pas (comme élément spécifique) toutes les combinaisons de son générateur, une autre façon (plus claire) de le dire : l'écriture de chaque élément de n'est pas unique.

Par exemple dans : 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

[invitebe0cd90e]

Salut,

Tu as en partie raison, en ce sens que les espaces vectoriels sont effectivement des structures libres, et que l'existence d'une base en est une consequence. Tu as aussi legerement tort parce que meme si cette analogie est rigoureuse (les deux sont vraiment des "objets libres" au sens d'une definition generale), toutes les choses pratiques et simples au sujet des espaces vectoriels, qui viennent justement de l'existence d'une base, ne s'appliquent pas du tout aux groupes libres qui ont une structure très compliquée.

Il y a plusieurs facon un peu intuitive de voir un groupe libre. La premiere te dit que c'est "le plus gros groupe" engendré par S. C'est peut etre plus simple de comprendre si S est fini, mettons de cardinal n, alors F_S=F_n est le plus gros groupe qu'on peut fabriquer en prenant n symboles et en ecrivant des produits (des "mots" en ces symboles).

Ici, "le plus gros" peut se traduire par la propriétée fondamentale suivante : tout groupe qui peut etre engendré par n elements, peut etre construit comme un quotient de F_n.

Une autre facon de dire ca, c'est que tout element de F_S s'ecrit de facon unique comme un produit d'element de S. C'est sans doute a cette notion d'unicité que tu pensais en faisant le parallele avec les espaces vectoriels.

Une autre maniere de reformuler ca : un groupe est libre si et seulement si, par definition, il n'existe pas de relation non triviale entre ses elements. Je veux dire par la qu'il y a evidemment les relations qui viennent des axiomes de groupes, comme , par exemple, mais pas plus. Par exemple dans un groupe libre tu ne peux pas trouver deux elements tels que , ou un x tel que , ou n'importe quelle autre relation de ce genre. Si tu regardes bien, ca n'est qu'une autre maniere de dire que chaque element a une ecriture unique.

Pour voir que Z est libre, c'est assez facile, c'est le groupe libre a un generateur. Encore une fois, il y a deux maniere de voir les groupes libres :
- la maniere "concrete" en le construisant comme l'ensemble des mots reduits sur
- la maniere plus abstraite, avec la propriété universelle : si G est un groupe et est une application ensembliste, alors il existe un unique morphisme de groupe telle que .

Donc soit tu constuis le groupe libre a un generateur et tu montre que c'est isomorphe à Z, soit tu montres que des que tu prends un groupe G et un element x de G, il existe un morphisme de groupe tel que .

Pour montrer que le groupe cyclique n'est pas libre, la aussi tu as le choix : par exemple tu peux dire que tout element verifie , donc une relation non triviale.

Mais l'idée est vraiment celle la : la structure d'un groupe correspond exactement aux relations entre ses elements. Quotienter un groupe par un sous groupe normal (ou distingué), c'est la meme chose que de rajouter des relations a ton groupe, puisque tu "rends egaux" des elements qui ne l'etaient pas avant. Les groupe libre c'est ceux qui sont "le plus au dessus de tout le monde", c'est ceux qui ont le nombre minimum de relation, on part de l'objet le plus gros possible (l'ensemble des mots sur S) et on ajoute pile le minimum pour avoir un groupe (cad les relations et pas plus.

Desolé si c'est un peu en vrac, les explciations dependent bcp de la facon dont on t'as expliqué cette notion et du niveau que tu as deja en theorie des groupes, n'hesites pas a demander des precisions.

Un dernier exemple pour te convaincre que les groupes libres sont plus compliqués que les espaces vectoriels : la nombre d'element d'une base est la dimension de l'espace. Ca ne depend pas du choix de la base, et un espace vectoriel ne peut pas contenir de sous espace de dimension plus grande.

En revanche, le groupe libre a 2 generateurs, contient comme sous groupe strict le groupe libre a une infinité (denombrable) de generateurs (cad en prenant par exemple) ! c'est une petite curiosité, mais tu vois qu'il peut se passer des choses tres tres compliquées et pas tres intuitive.

[inviteedb1f4ef]

Merci pour votre réponse si rapide Mediat, et pour votre réponse si complète jobherzt.

Par exemple avec et comme générateur

on a et ?

Si c'est ce le cas, je peux comprendre ça.
D'après vos explications jobherzt, tout groupe cyclique n'est pas libre.
Peut-on affirmer de même que tout groupe fini n'est pas libre ?
(Intuitivement, si un groupe possède n élément, on devrait retomber sur l'un d'eux en faisant plus de n opérations).

En fait une chose me chiffonne.

Si je prend comme groupe, le groupe des permutations du rubik's cube.
Avec l'ensemble où chaque lettre représente une rotation d'une des six faces du cube dans le sens des aiguilles d'une montre.

- est fini.
- l'écriture de chaque élément de n'est pas non plus unique à partir d'éléments de . ()
- ne doit donc pas être libre.

Pourtant, j'ai lu sur wikipedia que l'ensemble des mots réduits de est un groupe libre.

Je doit donc en déduire que le groupe n'est pas le groupe des permutations (comme je le croyais), mais un groupe pour lequel (quatre rotations de la face droite, la faisant revenir sur elle-même) est bien un élément distinct de .

Je ne suis pas du tout un fan du rubik's cube, mais je me suis dit que ça ferait un exemple non-trivial et concret l'étude des groupes

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb1f4ef]

Je viens de plus ou moins intégrer l'ensemble de votre message jobherzt.
Je pense avoir bien compris. Evidemment tout groupe libre est infinie, et dépend uniquement du nombre de ses générateurs, et non des générateurs en eux-mêmes (à isomorphisme prêt ?).
Mais votre dernière affirmation est effectivement très troublante...

[invitebe0cd90e]

Par exemple avec et comme générateur

on a et ?

par exemple, donc tu as bien 1+1=1+1+1+1, mais en fait simplement la relation 1+1=0 contredit l'unicité de l'ecriture.

D'après vos explications jobherzt, tout groupe cyclique n'est pas libre.
Peut-on affirmer de même que tout groupe fini n'est pas libre ?

On peut, pour pas mal de raison. Deja, un groupe libre ne peut pas contenir d'element d'ordre fini, puisque ca donne une relation de la forme . Ensuite, plus vicieux mais qui utilise la propriété universelle : considere l'application f de S dans Z definie par : . Par propriétée universelle du groupe libre, il existe donc un morphisme de groupe de F_S dans Z, dont l'image contient 1 donc qui est surjectif, donc F_S est infini.

De toute facon, si tu prends la definition "constructive" du groupe libre, avec des mots en les elements de S, tu vois tout de suite qu'il est forcement infni. Encore une fois, F_S doit etre le plus gros groupe engendré par S, et comme tu peux toujours fabriquer des groupes infinis engendré par un ensemble en bijection avec S, F_S est forcement inifni.

(Intuitivement, si un groupe possède n élément, on devrait retomber sur l'un d'eux en faisant plus de n opérations).

C'est can, mais c'est plus qu'intuitif, c'est un theoreme facile : tout element d'un groupe fini est d'ordre fini.

Si je prend comme groupe, le groupe des permutations du rubik's cube.
Avec l'ensemble où chaque lettre représente une rotation d'une des six faces du cube dans le sens des aiguilles d'une montre.

- est fini.

absolument

- l'écriture de chaque élément de n'est pas non plus unique à partir d'éléments de . ()
- ne doit donc pas être libre.

tout a fait.

Pourtant, j'ai lu sur wikipedia que l'ensemble des mots réduits de est un groupe libre.

Oui, mais attention !!! l'ensemble des mots, munis de la composition, est un groupe libre, c'est meme la definition d'un groupe libre !! Ce qu'il faut voir c'est que different mots designent le meme element de G ! Autrement dit.... en accord avec la verité generale enoncé ci dessus : G est un quotient de F_X.

Ce qu'il faut voir, c'est que c'est toujours vrai que tu peux utiliser des mots en les generateurs pour designer des elements d'un groupe. Et le groupe libre c'est justement l'ensemble des mots (reduits) que tu peux former. En fait il faut faire la difference entre un element d'un groupe (unique, precis) et la facon dont tu le represente (qui peut ne pas etre unique du tout).

Pour reprendre ton exemple : le groupe du Rubik's cube est un groupe de permutation. Si tu veux le resoudre, ca revient a prendre la permutation qui correspond au cube melangé que tu as dans la main, et decomposer cette permutation pour l'ecrire comme une suite de mouvement, cad ... comme un mot sur X.

Une maniere formelle de dire ca : tu as par definition un morphisme surjectif (mais evidemment pas injectif) de F_X dans G. Decomposer un element de G sur X, ca revient exactement a trouver un antecedent de cet element par !

Je doit donc en déduire que le groupe n'est pas le groupe des permutations (comme je le croyais), mais un groupe pour lequel (quatre rotations de la face droite, la faisant revenir sur elle-même) est bien un élément distinct de .

Evidemment, quand tu ecris F_X, tu oublie completement ce qu'est le Rubik's cube, tu construis un groupe libre sur un ensemble, donc dans ce cas R,D etc ne sont que des symboles.

C'est vrai que c'est delicat, mais quand on ecrit F_S ou S est un ensemble, et qu'on dit que F_S est engendré par S, il faut bien comprendre que c'est formel, on prend vraiment S comme un ensemble de lettre, il faut oublier le "sens" que peut avoir S, en particulier si c'est un ensemble d'elements d'un groupe.

En resumé, dans ton cas, le groupe engendré par X et le groupe libre sur X ne sont pas la meme chose.

Je ne suis pas du tout un fan du rubik's cube, mais je me suis dit que ça ferait un exemple non-trivial et concret l'étude des groupes

Tu as raison. Pour ce qui est de decomposer une permutation sur un ensemble de generateur, tu peux regarder l'algorithme de Schreier Sims, il est assez elementaire mais il eclaire bien tout ca !

[invitebe0cd90e]

Je viens de plus ou moins intégrer l'ensemble de votre message jobherzt.
Je pense avoir bien compris. Evidemment tout groupe libre est infinie, et dépend uniquement du nombre de ses générateurs, et non des générateurs en eux-mêmes (à isomorphisme prêt ?).
Mais votre dernière affirmation est effectivement très troublante...

Tout a fait, l'enoncé precis etant : S'il existe une bijection entre S et S', alors . En particulier, si S est fini, alors F_S ne depend que du cardinal de S, c'est pour ca qu'on parle "du" groupe libre a deux générateurs par exemple.

Pour reprendre plus simplement l'idee de mon dernier message : quand tu ecris ton ensemble X, tu donnes un nom a certaines permutation, n'est ce pas ? Et bien "donner un nom aux 6 generateurs d'un groupe" c'est exactement la meme chose que "definir un morphisme entre le groupe libre et G". Dans ton ensemble X tu n'as que des lettres, donc des generateurs de F_6, et tu les associes a des permutations, donc tu construis une application qui induis un morphisme.

[invitebe0cd90e]

Une autre facon peut etre eclairante de dire ca :
- G est le groupe des transformations du cube, cad le sous groupe de qui correspond aux permutations des cases aboutissant sur une position "legale" (cad sans demonter le cube)
- F_X est le groupe des mouvements que tu peux effectuer sur le cube.

Autrement dit, le mouvement R^4 et le mouvement Id ne sont evidemment pas les memes, tu n'as pas effectué les memes operations dans les deux cas. Mais il aboutissent a la meme configuration du cube, cad qu'ils correspondent a la meme permutation des cases. Donc ce sont des mouvements differents, mais des transformations identiques, tu vois ce que je veux dire ?

Dans la vraie vie, quand tu calcules avec des permutations tu veux juste le resultat du calcul. Mais ici, ce que tu veux c'est toujours garder la trace des mouvements que tu effectues, donc c'est pour ca que tu jongles entre G et F_X.

[inviteedb1f4ef]

Oui, je pense que je comprend à peu près tout. La définition abstraite de groupe libre est un peu... abstraite justement. Pas forcément facile à appréhender.
J'ai de quoi bosser et méditer tout ça.
En particulier le fait que le groupe à une infinité dénombrable de générateurs soit inclus strictement dans celui à deux générateur ! Ça j'avoue ça m'abasourdis. Mais avant de comprendre ça, je dois bien intégrer l'ensemble des notions de base.
Merci bcp en tout cas

[invitebe0cd90e]

En fait, un resultat fondamental est le suivant : tout sous groupe d'un groupe libre, est egalement un groupe libre (c'est un theoreme plutot difficile a montrer).

Partant de la, tu peux regarder dans F_2 le sous groupe engendré par les commutateurs, cad que tu prends . Je pretends que le sous groupe engendré par B est un groupe qui n'est pas finiment engendré (ie qui ne peut pas etre engendré par un nombre fini d'element) et donc en vertu du thm precedent c'est un groupe libre sur un ensemble infini.

Car attention, ca n'est pas parce que tu trouves un ensemble à n elements, tels que chacun de ces elements ne puisse pas s'ecrire a partir des autres, que le groupe qu'ils engendrent est forcement le groupe libre sur n. Par exemple, dans Z, le sous groupe engendré par {2,3} est Z tout entier, donc le groupe libre a un seul generateur, et ce bien que l'ensemble {2,3} soit minimal et de cardinal 2