Quelques questions au sujet de l'intégration

[silk78]

Bonjour à tous,

Je me suis récemment posé deux questions sur l'intégration.


1) La première concerne les intégrales impropres. On a si j'ai bien compris :


Maintenant, soit (u_n) une suite qui diverge vers + l'infini. Est-ce qu'on a :


De même, si g est une fonction qui tend vers + l'infini en l'infini, est-ce qu'on a :


Quant est-il si la borne n'est pas infinie ?


2) La seconde concerne les intégration multiples, où je cherche une sorte de relation de Chasles. Un truc du genre :

Théorème : Soient D, A et B trois domaines de Rⁿ tels que A et B soient inclus dans D et que B=D\A. Soit f une fonction continue sur D à valeur dans R ou C. On a :


Est-ce que ce genre de théorème existe ? Si oui, quel est son nom ?


Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
Silk78
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[taladris]

Salut!

1) La première concerne les intégrales impropres. On a si j'ai bien compris :


Maintenant, soit (u_n) une suite qui diverge vers + l'infini. Est-ce qu'on a :


De même, si g est une fonction qui tend vers + l'infini en l'infini, est-ce qu'on a :


Quant est-il si la borne n'est pas infinie ?

La réponse est oui. En effet, pose pour r assez grand.

Comme tu l'as écrit, dire que l'intégrale impropre converge signifie que F(r) admet une limite l quand r tend vers l'infini. Si tel est le cas, on note

Ensuite, si tend vers l'infini, alors tend vers l (c'est la "caractérisation séquentielle de la limite") et si g(t) tend vers l'infini, alors tend aussi vers l.

Le cas où la borne est finie est analogue.

Cordialement

[silk78]

Merci taladris pour ta réponse.
Une idée pour le 2) ?

[SchliesseB]

Oui cela existe (pour peu que la fonction soit intégrable et pas seulement "une intégrale impropre").

je ne connais pas le nom exact, "additivité par rapport au domaine"?

[A voir en vidéo sur Futura]