Problème de suites

[inviteebb4cd82]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide sur un des nombreux problèmes que mon prof de spé m'a demandé de faire pour la rentrée, si quelqu'un peut me donner un coup de pouce, cela serait bien gentil.

Soient a et b deux réels donnés tels que a>0 et b>=0. (u_n) est une suite définie par u₀ de ]0;+inf[ et pour tout n de N u_n+1=(au_n+b)^1/2 et on sait que u_n converge vers a.
on suppose b>0 et on note c=(a+(a+4b)^1/2)/2.
prouver que si u_n converge alors elle converge vers c.
prouver que pour tout n de N et pour k=2*min(c,u_n+1/a, on a : |u_n+1-c|<=(1/k)|u_n-c|.

Merci d'avance pour toute aide.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

est une suite définie par de ]0;+inf[ et pour tout n de N

Je ne crois pas avoir tout saisi...

de plus

on sait que converge vers

si converge alors elle converge vers

Ces affirmations me semblent contradictoires, un coup on sait qu'elle converge l'autre coup on ne sais pas trop, en premier lieu c'est vers ou bien alors c'est vers

Il se fait tard, donc hormis si mes sens me jouent un tour, corrige ton texte pour demain, histoire que l'on t'aide

Cordialement, RoBeRTo

[MMu]

Montrons que converge.
Pour cela regarde d'abord le signe de .
Comme on a toujours . Notons .
Deux cas sont possibles :
1) . Montrons que la suite est croissante est bornée.
Par récurrence et par l'étude du trinôme on a :


2). Je te laisse montrer que la suite est décroissante et bornée :

Il s'ensuit la convergence de puisque monotone et bornée.
ont la même limite , donc et donc .