equa diff second ordre méthode variation de la constante

[ptit81]

Bonjour

Je voudrais trouver une équa diff linéaire du second ordre qu'on puisse résoudre analytiquement et dont on ne pourrais trouver une solution particulière que par la méthode de variation de la constante.
Je m'explique : soit une ED de type : a y''+b y'+c y = f(x).
Dans la plupart de celle que j'ai trouvé et qu'on peut résoudre à la main, f(x) peut se mettre sous la forme f(x)=exp(m.x)*Pn(x) avec Pn(x) un polynome de degrès n. Si c'est un cos, on passe en complexe et on s'en sort. On peut alors chercher une solution particulière de la forme exp(m.x)*Q(x) avec Q(x) un polynome dont on peut déterminer l'ordre.
J'ai réussi à en trouver une où on ne peut pas. C'est la suivante :
y''-4 y'+4=exp(2*x)/(1+t)^2.
Là, on est obligé de passer par la méthode de variation de la constante.

Est ce que vous en connaissez d'autres?

Merci d'avance
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[mc222]

salut, méthode infaillible, transformation de Laplace, pour toute équation différentielles linéaire avec ou sans second membre.
Un peu long à piger, mais bien plus simple une fois maitrisée, que les autre méthodes je pense.