Bijection dans un compact

[invitea6816ba4]

Bonsoir
Soit A un compact
Soit f une fonction continue de A vers A telque f soit anti 1 lipshitzienne
montrer que f est une bijection isométrique.

anti 1 lipshitzienne veut dire 1 lipshitzienne avec l'inégalité renversée.

Pour la recherche

j'ai pensé à introduire la suite des étirés des images et essayez d'en extraire une limite seulement je ne vois pas comment ca va mener à la surjection.
Un ami a aussi penser à utiliser le théoréme du point fixe pour les compact mais ca n'a pas aboutit

pour l'injectivité elle se déduit directement de l'inégalité.
pour isométrique j y pense encore

Merci de vos réponses
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[God's Breath]

Essaie de prouver que la suite des itérés contient des termes arbitrairement proches du premier terme.

[invitea6816ba4]

le probléme est que l'inégalité que nous avons donne une minoration des distances entres les étirés par la distance entre les deux premier terme.

[God's Breath]

Dans la suite des itérés, il faut "remonter" des termes éloignés vers les premiers termes, on diminue ainsi les distances.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6816ba4]

une idée en vrac:
fm-n(x)-x est inférieur en valeur absolu à fm(x)moins fn(x).
on re monte les terme en faisant grandir le n.
Seulement je ne vois pas le lien avec la surjectivité.

Dsl pour l'écriture je ne maitrise pas le latex.

[invitea6816ba4]

Je viens d'avoir une idée

on extrait de la suite des étirés une suite convergeante.

on peut donc majorer comme on veut fphi(m)-phi(n)(x) -x

on réextrait de fphi(m)-phi(n)(x) une suite convergeante il faut montrer qu'elle converge dans l'image de f et c'est fini

[invitea6816ba4]

on prend m égale n+1
Pour montrer que la limite est dans l'image.

il suffit de remarquer que la limite est une valeurs d'adhérence de la suite des étirés et que en notant T l ensemble des valeurs d'adhérences on a f(T) égale T par compacité.

[inviteac038092]

Bonjour,

je ne sais pas quelle est exactement ta définition de antilipsichzienne.

Si c'est: |f(x)-f(y)| >= |x-y| pour tout couple x y, il me semble qu'on obtient ton résultat en intégrant le jacobien de la transformation dans le domaine. Il y a peut être une démonstration plus générale.

Pierre

[God's Breath]

le jacobien de la transformation

On n'est a priori dans le cadre d'un espace métrique compact sur lequel on n'a pas de notion de différentiabilité.
Et quand bien même le compact en question serait-il dans un espace normé, on n'a pas d'hypothèse de différentiabilité de f.

[inviteac038092]

Je suis preneur d'une meilleure démonstration.

Notons néanmoins qu'une fonction lipschitzienne de R dans R est dérivable presque partout. Ce qui doit s'étendre au Jacobien de celle dont elle est l'inverse.

[God's Breath]

Si le compact en question est un cube de Hilbert représenté dans un espace de dimension infinie comme , ou si le compact est un anneau d'entiers p-adiques avec une distance ultramétrique, je ne dis pas que l'on ne puisse pas mettre en œuvre une technique par intégration, mais je demande à voir de plus près comment on définit le jacobien.