limite du type f/g

invite87a1ce41 · 26/08/2005, 15h51

Bonjour,

Je me demandais comment pouvait-on est certain que la limite d'un quotient de fonction en x->a est une limite non finie

avec lim f (x->a) = L L réel
et lim g (x->a) = 0+-

car en effet, si les courbes de f et g connaissent la même pente au voisinage ( sans que ce soient pour autant les mêmes fonctions ), le quotient f/g est constant, et donc la limite est réelle..

Donc pourriez-vous m'expliquer ou me dire où est mon erreur

merci !

**indian58** · 26/08/2005, 16h05

Et si L=0, il y a un "petit" problème!

invite788fa302 · 26/08/2005, 16h09

Envoyé par adrislas

Bonjour,

Je me demandais comment pouvait-on est certain que la limite d'un quotient de fonction en x->a est une limite non finie

avec lim f (x->a) = L L réel
et lim g (x->a) = 0+-

car en effet, si les courbes de f et g connaissent la même pente au voisinage ( sans que ce soient pour autant les mêmes fonctions ), le quotient f/g est constant, et donc la limite est réelle..

Si tu prend lim f (x->a) = l (avec l réel non nul)
et lim g (x->a) = 0
alors le quotient f/g tend vers l'infini.

Mais, je vois ce que tu veux dire. Généralement, lorsque tu a deux fonctions qui ont la même pente au voisinage d'un point a (fini ou non), on utilise des équivalents au voisinage de a, ou les développements limités, et là normalement, ça se simplifie et on trouve plus facilement la limite (même si elle n'est pas evidente à priori)

invitebfbf094d · 26/08/2005, 16h16

D'où tires tu la conclusion que si f et g ont meme pente au point a, f/g est constant ??? c'est faux !!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite87a1ce41 · 26/08/2005, 18h46

Envoyé par zapple

D'où tires tu la conclusion que si f et g ont meme pente au point a, f/g est constant ??? c'est faux !!

dans mon message, je disais que si je me trompais, il fallait me dire pourquoi, s'il te plait.. sinon, je suis pas plus avancé..

invitebfbf094d · 26/08/2005, 20h00

Je suppose que tu as pensé que la dérivée de (f/g) était égale a f'/g' ? et qu'ainsi, si f et g ont la meme pente au point a, i.e. que f'(a) et g'(a) existent et sont finis, alors f'(a)/g'(a) devait etre fini aussi. Mais c'est faux, car la dérive de f/g est (f'g-g'f)/g².

**Duke Alchemist** · 26/08/2005, 20h32

Bonsoir.

Envoyé par indian58

Et si L=0, il y a un "petit" problème!

Non, mais dans ce cas on utilise le théorème de l'Hopital (en ayant pris soin de bien vérifier que les conditions d'application sont bien vérifiées)

Duke.

invite87a1ce41 · 26/08/2005, 21h39

Envoyé par zapple

Je suppose que tu as pensé que la dérivée de (f/g) était égale a f'/g' ? et qu'ainsi, si f et g ont la meme pente au point a, i.e. que f'(a) et g'(a) existent et sont finis, alors f'(a)/g'(a) devait etre fini aussi. Mais c'est faux, car la dérive de f/g est (f'g-g'f)/g².

Non, je n'ai absolument pas pensé ça. En fait, c'est juste que si f et g on la même pente, le rapport f/g est constant, donc on peut penser que la limite est un nombre fini si les deux fonctions ont la même pente au voisinage de la valeur de x pour laquelle on étudie la limite, même si la limite de g est 0+- et celle de f un nombre réel

invitebfbf094d · 26/08/2005, 21h45

Envoyé par adrislas

En fait, c'est juste que si f et g on la même pente, le rapport f/g est constant,

Mais d'où te vient ce résultat ?

**g_h** · 26/08/2005, 21h46

Imagine la fonction f : x -> x/(x+1)
C'est le rapport de 2 fonctions de même dérivée (de même pente) (x -> x et x -> x+1)

f(0) = 0
f(1) = 1/2
f(2) = 2/3
f(3) = 3/4
...

Donc le rapport de 2 fonction de même pente n'est pas constant

invite87a1ce41 · 26/08/2005, 22h30

effectivement, grosse connerie et inattention de ma part

merci

invite87a1ce41 · 27/08/2005, 10h21

cependant, si elles ont la même pente, même si la limite n'est pas constante, elle demeur bien réelle ( tant que g ne s'annule pas ), n'est-ce pas ?

**g_h** · 27/08/2005, 10h50

Envoyé par adrislas

même si la limite n'est pas constante

Oups, c'est quoi une limite constante ?

invite788fa302 · 27/08/2005, 11h26

Envoyé par g_h

Imagine la fonction f : x -> x/(x+1)
C'est le rapport de 2 fonctions de même dérivée (de même pente) (x -> x et x -> x+1)

f(0) = 0
f(1) = 1/2
f(2) = 2/3
f(3) = 3/4
...

Donc le rapport de 2 fonction de même pente n'est pas constant

mais au voisinage de l'infini, la fonction f défini ci dessus est constante,

lim f(x) x->infini = 1 avec f : x -> x/(x+1)

et je pense que c'est ce que voulait dire adrislas

invite87a1ce41 · 27/08/2005, 12h06

en partie, sauf que j'ai commis une erreur en voulant aussi appliquer ça dans d'autres cas.

Quelqu'un pourrait-il cependant me répondre sur le message 12 ?

Car je cherche, en fait, à comprendre pourquoi, nécessairement, lim f/g = +-l'infini si lim f = L et lim g = 0 pour la valeur étudiée

**Gwyddon** · 27/08/2005, 16h28

Un petit contre-exemple pour la route :

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

Ces deux fonctions vérifient les conditions que tu nous donnes : même pente, lim f = 4 et lim g = 0 (en $\text{[math]}$ )

Pourtant, $\text{[math]}$ ...

Maintenant, la démo du résultat exact (je le fais pour g de signe constant au voisinage de a, par exemple positif, et L > 0 ; les autres cas ont une démo analogue) :

Soit $\text{[math]}$ .

On sait que pour tout $\text{[math]}$ il existe deux réels $\text{[math]}$ tels que si $\text{[math]}$ *alors $\text{[math]}$ ainsi que $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Alors on a $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc en faisant le quotient on obtient $\text{[math]}$

Donc pour tout A > 0 il existe $\text{[math]}$ tel que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ : ceci prouve que f/g admet $\text{[math]}$ comme limite en $\text{[math]}$ .

invite87a1ce41 · 27/08/2005, 17h28

merci Julien, je n'ai pas trop compris la deuxième partie, je verrai plus attentivement après, mais ça reste valable même quand c'est la limite en un nombre précis ( et non pas en l'infini ) ?

**Gwyddon** · 27/08/2005, 17h38

Oui ; d'ailleurs la démo que je t'ai proposée est en fait celle où a est réel (donc gaffe à la fin de mon message , il fallait lire que la limite en a du quotient est $\text{[math]}$ )

Ne t'inquiètes pas si tu ne comprends pas trop la démo, tu verras tout ça dans quelques mois

limite du type f/g

limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Re : limite du type f/g

Discussions similaires

Rendement de Carnot, limite physique ou limite technologique ?

Limite d'une suite de type n^a-(n-1)^a

ecart type

Limite? A-t-on le droit de mettre la limite de a.sigma?

limite uniforme et limite simple?