Fonction continue - Caractere borné

[mimo13]

Salut,

Toujours en travaillant sur les espaces vectoriels normés, j'ai un peu de problèmes à étudier le caractère borné de l'ensemble:

avec l'espace des applications continues par morceaux de dans .

Pour la norme: .

Apres quelques calculs, j'ai fait la construction suivante:

On définit la suite de fonction par:

si et nulle ailleurs.

Il est clair que est continue par morceaux pour tout .

Aussi: .

On conclut donc que .

En fait, l'idée est simple, c'est juste un rectangle dont la largeur diminue et la longueur augmente de sorte à toujours conserver un aire qui vaut .

Après, il est évident que: .

Si l'ensemble est borné alors:

.

Cad que: .

Et je conclut par absurde.

Je voudrais savoir ce que vous pensez de mon raisonnement. (J'ai des doutes là )

Une autre chose me tracasse, si on impose que les fonctions f soient continues, l'ensemble deviendra-t-il borné pour la même norme ?

J'ai beau cherché mais je n'ai pas de pistes.

Merci à vous.

Cordialement
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[God's Breath]

Je voudrais savoir ce que vous pensez de mon raisonnement. (J'ai des doutes là )

Une autre chose me tracasse, si on impose que les fonctions f soient continues, l'ensemble deviendra-t-il borné pour la même norme ?

Ton raisonnement est parfaitement correct.

Si tu veux une fonction continue, il te suffit de remplacer le palier à par une fonction affine qui se raccorde de façon continue sur le palier nul, en ajustant le coefficient directeur pour avoir la bonne intégrale.

[mimo13]

Si tu veux une fonction continue, il te suffit de remplacer le palier à par une fonction affine qui se raccorde de façon continue sur le palier nul, en ajustant le coefficient directeur pour avoir la bonne intégrale.

C'est bien ce que je pensais. Je m'y mets tout de suite.

Merci God's Breath.

[mimo13]

Re,

C'est fait.

Il suffit de considérer la fonction:

si et nulle ailleurs.

J'ai aussi un autre problème, si je considère le même ensemble (cette fois continue) muni de la norme:



Si est borné alors:

.

A première vue, c'est du Cauchy Schwarz mais ça ne donne rien:

Pour et on a :

.

Vue que j'aurai bien aimé avoir l'inégalité inversée.
Sinon, je n'ai pas de pistes.

Qu'en pensez vous ?

Merci

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Le même genre de contre-exemple ne fonctionnerait-il pas ?

Petit truc : il vaut mieux prendre le morceau affine sur [0,1/n], puis prolonger par 0 sur [1/n,1], les calculs sont plus sympathiques.

[mimo13]

Le même genre de contre-exemple ne fonctionnerait-il pas ?

Petit truc : il vaut mieux prendre le morceau affine sur [0,1/n], puis prolonger par 0 sur [1/n,1], les calculs sont plus sympathiques.

Oki.

Merci pour le conseil.