Résolution d'équations polynomiales d'ordre 4

[invite1d872511]

Salut,

Tout d'abord, je tiens à préciser que je suis dans la physique et pas du tout les mathématiques. Il est donc probable que certains termes que vous emploierez me soient inconnues.

Alors, un problème que j'essaie de résoudre contient une équation polynomiale du type a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0.
J'ai donc vu en fouillant un peu qu'il y avait plusieurs méthodes de résolution. J'ai donc décidé de tenter la méthode de Ferrari (peut être pas une bonne idée, je ne sais pas).
Mon but est de la rentrer dans maple car les différents termes de l'équation changent souvent, il me faudrait donc si possible un programme qui ferait la résolution tout seul.
J'en suis donc plus ou moins arrivé à un moment où, après différents changements de variable, on obtient une équation polynomiale d'ordre 3. De ce que j'ai cru comprendre, il faut utiliser une des racines de cette dernière équation pour finir la résolution de celle d'odre 4. Mais comment choisir quelle racine a utilisé?

Je sais que je ne suis pas très clair mais être clair à propos de quelque chose que l'on n'a pas compris complètement, ce n'est pas facile.

Par contre, si vous connaissez une fonction maple permettant de faire cela, cela m'intéresse aussi...

Merci d'avance pour votre aide.
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[Médiat]

Si votre but est juste d'obtenir les solutions, vous pouvez utiliser wolframalpha :

http://www.wolframalpha.com/input/?i...49x+%2B3+%3D+0

[invite1d872511]

Je vous remercie mais en fait, devant mon inconnue "x", j'ai des paramètres généralement inconnus pour le cas général. Soit techniquement :
a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0
Mais déjà, est-ce seulement possible de résoudre l'équation en fonction de a, b, c et d (dans le lien donné, cela ne fonctionne pas)?
De plus, j'ai beaucoup de mal à utiliser des "choses" que je ne comprends pas.
Auriez-vous des sites avec de bonnes explications pour cette résolution?

[Médiat]

L'article de Wikipedia me paraît assez clair ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d872511]

Justement, je suis parti de celui-ci mais je bloque à cet endroit (au milieu de la partie "Principe de la méthode") :

Cette annulation équivaut à : 8y^3 - 4py^2 - 8ry + 4rp - q^2 = 0

Cette équation se résout par radicaux en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan, qui donne au moins une valeur réelle y0 convenable.

Que signifie "une valeur réelle y0 convenable"? sachant que l'équation en donne plusieurs.

[Médiat]

Je n'ai pas refait les calculs, mais il me semble que n'importe quelle racine réelle (il en existe au moins une) doit convenir ...

[invite1d872511]

D'accord, je vais essayer de faire les calculs avec chaque racine alors. En fait, je pensais une racine différente donnerait un résultat différent au final.

[sylvainc2]

Il y a la fonction solve() dans maple, qui fait ca. Pourquoi réinventer la roue...

[invitec7c23c92]

Prendre une racine (de l'équation cubique) différente donnera les quatre mêmes solutions finales, mais dans un ordre différent.

[invite1d872511]

Il y a la fonction solve() dans maple, qui fait ca. Pourquoi réinventer la roue...

Pourtant, dans mon cas, elle me met une erreur. Mais je vais regarder d'un peu plus près, peut être l'ai-je mal écrite.

[invite1d872511]

Bonjour,

Après avoir travaillé un peu sur tout ça, j'ai codé une fonction Matlab qui sort les solutions de cette équation.
Seulement il faut que je la débugue. En fait, l'exemple de wikipédia fonctionne et mon code sort la bonne solution. Mais pour d'autres coefficients, non. En fait, je testais avec le lien donné par Médiat :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...49x+%2B3+%3D+0
J'aurais donc voulu savoir si vous auriez des sites donnant des exemples de résolution avec cette méthode. J'ai cherché un peu mais n'ai rien trouvé de probant.
Et il est plus facile de débuguer si j'ai les résultats des différentes étapes plutôt que seulement le résultat.

Merci d'avance.

[sylvainc2]

Juste pour m'amuser j'ai décidé d'écrire des fonctions en Maple 8 pour résoudre des polynomes de degré 2 à 4.

Pour le degré 4 j'ai suivi la méthode décrite en début de la page wikipedia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...tique#Formules

Ca semble bien fonctionner mais bon je peux pas garantir à 100% bien sûr.

[invite1d872511]

Merci, je vais comparer ton algorithme avec le mien pour vous où je me suis trompé.

[invite1d872511]

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ton algorithme. Il n'y a pas moyen de choisir le coefficient devant x^4?

[sylvainc2]

S'il y a un coefficient autre que 1 devant x^4 alors il suffit de diviser les autres coeff par lui avant d'appeler la proc sol4(). Tu peux rajouter une ligne dans sol4 qui fait ca automatiquement si tu veux.

Pour l'algo lui-même j'ai suivi tout bêtement la page wiki dans la section 'formules' alors ca pouvait pas être plus simple.

Pour résoudre un polynôme cubique (la proc sol3) j'ai utilisé le chapitre 5.6 ici:
http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php

[invite1d872511]

Oui, en effet, j'ai posé ma question sans réfléchir...

En tous cas, j'ai trouvé la source de mon problème, c'était une erreur dans un calcul mais qui induisait réellement une erreur dans le reste de l'algorithme seulement pour certains coefficients.

Merci pour votre aide.