Extensions de corps et plongements.

[invite61ab3646]

Bonjour à tous.

Je viens de rentrer en M1 Maths après avoir changé d'université. Cependant, j'ai remarqué que les programmes n'étaient pas tout à fait les mêmes.

J'ai donc dû rattraper les cours sur les extensions de corps.

Il y a cependant des choses que je ne comprends pas et que, malgré de longues recherches, je n'ai pas réussi à trouver sur le net.

Premièrement, a-t-on bien :
- K(N)={a+bN avec a et b dans K}
- K[N]={a(0)+a(1)N+a(2)N²+...a(n)N^n avec n naturel et a(i) dans K } ?

Deuxièmement, ce que je n'ai pas réussi à trouver sur internet.

Etant donné L/K une extension de corps finie, qu'est-ce qu'un plongement de L dans K ?
Par exemple, quels sont les plongements de C dans R ?

En vous remerciant d'avance pour votre aide.

[invited5b2473a]

K(N) de souvenir est plutôt l'ensemble des fractions rationnelles à coeff dans K.
K[N] est bien l'ensemble des polynômes à coeff dans K.

Ca serait pas plutôt un plongement de K dans L?

[invite61ab3646]

Dans mon cours, il est écrit que :

" Soit L/K une extension finie. Si (a₁,a₂,...,a_n) est une base de L sur K, le discriminant de cette base est : dét (f_j(a_i))² où les f_i sont les plongements de L dans "

Quels sont alors alors les plongements de L dans ?

Un peu plus loin, il semble écrit que les plongements de dans sont les morphismes :







Mais, quelle est la définition d'un plongement de manière générale ? Pourquoi ces deux morphismes sont appelés "plongements" ?

[invitebe0cd90e]

Pour ce qui est des définitions, ca dépend aussi de la nature de ce que tu notes N, que tu ne precises pas dans ton premier message, mais ton 2e suggere qu'il s'agit d'un element d'un surcorps de K, cad de la 2e definition dans ce qui suit.

. D'une facon générale, si X est une indeterminée et K un corps, alors K[X] est l'algebre des polynomes en X et K(X) est son corps des fractions, cad le corps des fractions rationnelles en X. Si maintenant L est un corps qui contient K et si a est un element de L, il existe un morphisme d'evaluation K[X] -> L qui a un polynome P associe P(a), et idem pour K(X). On note ensuite K[a] et K(a) les images de K[X] et K(X), ce sont donc des sous algebres/corps de L. Ca ne change rien au fait qu'on a bien de toute facon

et


sauf que dans le premier cas a est un "nombre", un element de L, alors que dans le deuxieme X est un "symbole".

. Note que si a est algebrique, alors K[a]=K(a), alors qu'evidemment K(X) est different de K[X]. Pour te faire une idée, prend K=Q et .

Pour cette notion de plongement, je pense que tu te trompes dans ton premier message, ton cours ne parle pas de plongement de L dans K, il semble meme si tu ne le precises pas que cette notion de plongement existe lorsque K est un sous corps de C, L une extension fini de K, et dans ce cas les plongements vont de L dans C (et pas dans K). Sauf erreur de ma part, si K est un sous corps de C, toute extension finie de K est aussi un sous corps de C puisque ce dernier est algebriquement clos. Sauf qu'une extension plus ou moins "abstraite" L peut etre plongé "concretement" dans C de differentes manieres. Autrement dit, je dirais qu'un plongement dans ce contexte est un morphisme injectif de L dans C dont la restriction a K est l'identité.

On retrouve bien l'exemple que tu donnes, pour peu que N soit tel que alors les plongements sont bien ceux la. Si , alors tu verifies facilement que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Il fallait lire "notes que si a est algebrique sur K".

[invite61ab3646]

Je te remercie pour ces différentes explications.

Comme tu l'as dit, dans mon premier message, le plongement ne va pas de L dans K.

De plus, effectivement, j'avais oublié de préciser ce qu'était mon N. Dans mon cas, c'était un entier relatif sans facteur carré dans sa décomposition en facteurs premiers. Ce qui revient à dire que .

Donc, si j'ai bien compris, si on a une extension de corps L/K, un plongement est un morphisme injectif de L dans tel que sa restriction à K soit l'identité ?

Donc, dans le cas particulier de l'extension de corps les plongements sont donc les morphismes injectifs de dans tel que ? Je comprends donc pourquoi les deux morphismes précédents sont des plongements. En revanche, je n'arrive pas à voir pourquoi ce sont les seuls ? Je me pencherai su ce problème qui n'a pas l'air si compliqué.

De plus, si j'ai bien compris, l'identité est toujours un plongement.

J'ai également ces deux formules dans mon cours : si est une extension et on a :


et
où les sont les plongements de L dans .

Que représentent et ?

Edit : Oui, j'avais compris qu'il fallait lire "algébrique sur K".

[invitebe0cd90e]

=

Donc, si j'ai bien compris, si on a une extension de corps L/K, un plongement est un morphisme injectif de L dans tel que sa restriction à K soit l'identité ?

En principe oui.

Donc, dans le cas particulier de l'extension de corps les plongements sont donc les morphismes injectifs de dans tel que ?

Pas tout fait, attention, il ne suffit pas en general de dire que Im(Q)=Q, il faut vraiment que le morphisme soit l'identité sur Q. Par exemple, si tu composes l'un de tes plongement avec un automorphisme non trivial de Q, le resultat n'est plus un plongement, et ce bien que tu aies toujours Im(Q)=Q.

En parlant d'automorphisme, notes que des que tu as choisi un plongement P, sauf erreur, tu obtiens tous les autres en composant P a gauche par un element de Gal(L/K).

En revanche, je n'arrive pas à voir pourquoi ce sont les seuls ? Je me pencherai su ce problème qui n'a pas l'air si compliqué.

Effectivement ca n'est pas tres difficile.

De plus, si j'ai bien compris, l'identité est toujours un plongement

Oui et non, disons que ca en est une quand ca a un sens, cad quand L est deja un sous corps de C particulier par hypothese. Mais en general, un meme corps abstrait peut justement se plonger de differentes maniere, et il n'y a pas de raison de dire que l'un d'entre eux est l'identité. C'est meme la raison d'etre de cette notion de plongement, savoir quelles sont les differentes facon de ramener une extension d'un sous corps de C dans C.

Par exemple, le corps est une extension de degré 2 de Q, naturellement isomorphe a , mais contrairement a ce dernier il n'est pas directment un sous corps de C. Plus exactement, il existe deux bonne facon de le plonger dans C, via les morphismes d'evaluation et qui ne sont qu'une autre facon de voir les deux plongements de ton cours, mais aucun des deux ne merite d'etre appelé identité..
Pour les dernieres formules j'avoue ne pas voir comme ca a quoi ca correspond.

[invite61ab3646]

Citation:
Envoyé par Adrien-San Voir le message
=

Donc, si j'ai bien compris, si on a une extension de corps L/K, un plongement est un morphisme injectif de L dans tel que sa restriction à K soit l'identité ?
En principe oui.

Du coup, y-a-t-il un moyen de connaître tous les plongements d'une extension ? Ou, au moins, leur nombre ? D'après tes remarques sur l'extension , il n'y aurait pas de moyen de déterminer facilement les plongements d'une extension car elles semblent différer si le sur-corps n'est pas un sous-corps de . Néanmoins, il semblerait que, dans le cas où l'extension est isomorphe à avec algébrique ( isomorphe a un corps de nombres ), les plongements sont au nombre de deux, non ?

Je te remercie pour toutes ces informations qui me seront fort utiles.

[invite61ab3646]

Bien sûr, il s'agit de et non de

[invitebe0cd90e]

Du coup, y-a-t-il un moyen de connaître tous les plongements d'une extension ? Ou, au moins, leur nombre ? D'après tes remarques sur l'extension , il n'y aurait pas de moyen de déterminer facilement les plongements d'une extension car elles semblent différer si le sur-corps n'est pas un sous-corps de . Néanmoins, il semblerait que, dans le cas où l'extension est isomorphe à avec algébrique ( isomorphe a un corps de nombres ), les plongements sont au nombre de deux, non ?

Je te remercie pour toutes ces informations qui me seront fort utiles.

Non, en fait c'est le contraire que je dis le surcorps peut toujours s'identifier a un sous corps de C (si c'est une extension finie), et determiner les plongements, c'est exactement determiner toutes les manieres dont cette identification peut se faire.

Dans mon exemple, disons que j'ai expres pris une facon compliquée de voir pour te montrer qu'en general il n'y avait pas un plongement particulier que tu pouvais appeler identité. Mais dans les deux cas il s'agit bien de deux facons differentes de voir le meme corps, donc il y a le meme nombre de plongement.

N'oublie pas que par le theoreme de l'element primitif, toute extension finie d'un sous corps K de C est isomorphe a un corps de la forme K(a) pour un certain complexe a, donc cette distinction n'est pas pertinente. J'aurais tendance a dire que le nombre de plongements est egal au degré de L sur K (encore une fois uniquement parce qu'on travaille dans C qui est un corps parfait), mais ca reste a verifier..

[invite5f67e63a]

J'aurais tendance a dire que le nombre de plongements est egal au degré de L sur K (encore une fois uniquement parce qu'on travaille dans C qui est un corps parfait), mais ca reste a verifier..

Je confirme, le cardinal de est au plus [K:k], il lui est de plus egal ssi K/k est séparable. (Donc en particulier k est parfait ssi chaque extension finie a autant de plongement dans la cloture algébrique de k, que son degré)

[invitebe0cd90e]

ET histoire de dire pourquoi Therodre a eu raison de me reprendre : un automorphisme de Q envoie 1 sur 1, et puisque c'est en particulier un morphisme de groupe il envoit tout entier sur lui meme donc sa restriction a Z est l'identité. Ensuite, soit en regardant ca a la main, soit en utilisant la propriété universelle du corps des fractions, on voit que ca determine notre automorphisme uniquement.

Moralité, le seul automorphisme de Q est l'identité, mais ma remarque reste pertinente si K est un surcorps de Q, dans ce cas une injection de corps n'est pas forcement un plongement.

[invite61ab3646]

Merci pour ces explications. Je commence à y voir plus corps en ce qui concerne les plongements.

Cependant, certaines choses me restent assez obscures, ne les ayant jamais vues, comme par exemple les corps parfaits et les extensions séparables.

Si tu te fixe K/k une extension finie. Alors tu dois certainement savoir que K hérite d'une structure de k-ev, alors la multiplication par un element x de K devient un k-endomorphisme de K (vu comme k^n, modulo le choix d'une base, ou n=[K:k])

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "vu comme k^n modulo le choix d'une base". Je sais que la n=[K:k] est la dimension de K en tant que k-ev. Donc, dans le cas de , on a donc et donc, ton "k^n" correspondrait au fait que l'on puisse voir comme isomorphe à ?

De plus, vous avez cité le théorème de l'élément primitif de la façon suivante : "Toute extension finie d'un sous corps K de C est isomorphe a un corps de la forme K(a) pour un certain complexe a.".

Cependant, dans mon cours, il est énoncé de la façon suivante : "Tout corps de nombre est de la forme pour un algébrique."

Je ne vois pas pourquoi ces deux énoncés seraient équivalents.

[invite5f67e63a]

En principe oui.
Pas tout fait, attention, il ne suffit pas en general de dire que Im(Q)=Q, il faut vraiment que le morphisme soit l'identité sur Q. Par exemple, si tu composes l'un de tes plongement avec un automorphisme non trivial de Q, le resultat n'est plus un plongement, et ce bien que tu aies toujours Im(Q)=Q.

UN automorphisme non trivial de Q?

Pour apporter ma pière a l'edifice, un plongement c'est juste un morphisme de corps... Il doit en théorie etre injectif, mais un morphisme de corps est toujours injectif. Donc un plongement de k dans K, c'est juste un morphisme de k dans K.

Maintenant on a en general un "corps de base" et on veut que les plongement le respect, si tu as L/K une extension, un K-plongement de L dans M (qui soit aussi une extension de K), c'est un morphisme de L dans M, qui soit K-lineaire, (un morphisme de K-algèbres si tu preferes).

La trace et la norme (relative), sont des choses extrement importantes dans l'etude des corps.
Si tu te fixe K/k une extension finie. Alors tu dois certainement savoir que K hérite d'une structure de k-ev, alors la multiplication par un element x de K devient un k-endomorphisme de K (vu comme k^n, modulo le choix d'une base, ou n=[K:k]), cet endomorphisme a un determinant et une trace (et aussi un polynome caractéristique et un polynome minimal d'ailleurs) et c'est ces trucs la qu'on appelle trace de x, norme de x etc...

Il est facile de voir que cela correspond aux formules que tu donnes sur un corps parfait (par le lemme de l'element primitif par exemple).

[invitebe0cd90e]

UN automorphisme non trivial de Q?

Euh oui, je voulais coller a l'exemple mais j'avais en tete "un automorphisme non trivial de K".. Mea culpa