Résidu

[silk78]

Bonjour,

Je m'essaye depuis peu aux intégrales curvilignes et j'aurai une question concernant les résidus.

Si on considère la fonction f définie (là où la formule a un sens) par :


Ca peut paraître bête mais je ne vois pas comment simplifier racine(z²) pour des complexes, et du coup, je ne sais pas si on a le droit de dire que f admet un pôle d'ordre 2 en 0, et donc je ne sais pas comment calculer le résidu de f en 0.

De plus, la fonction racine(1-z²) est paire donc, je ne vois pas comment il pourrait y avoir un terme d'ordre -1 dans le développement de Laurent de f, et on trouverait donc un résidu nul non ?

Pouvez-vous m'éclairer un peu.
Merci d'avance pour votre aide.
Silk
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[Arkhnor]

Bonjour.

là où la formule a un sens

Le problème, c'est que la formule, elle a plusieurs sens. Il faut que tu précises quelle détermination de la racine tu utilises. A partir de là, ce n'est plus que du calcul, à l'aide de la formule qui donne la détermination choisie.

[silk78]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour ta réponse.

Dans mon cas, je pense que la racine est la fonction qui a z=r*e^it associe racine(r)*e^it/2 avec racine(r) la racine réelle de r et t £ ]-pi;pi].

De plus, j'intègre sur le cercle unité. La seul singularité de ma fonction à l'intérieur du cercle se situe il me semble en z=0. Mais y a-t-il un moyen simple pour calculer le résidu de f en 0 une fois ma formule bien établie ou est-ce qu'il n'y a que la formule avec l'intégrale ?

Merci

Edit: une question, si je peux définir un développement de Laurent sur la demi-droite des réels positifs, est-ce que je peux en tirer le résidu ou il faut un développement vrai sur tout un voisinage de 0 ? je dirais que je ne peux pas mais je ne suis pas sur.

[Arkhnor]

Il y a de gros problèmes avec le domaine de définition de ta fonction ! Surtout si tu veux avoir une fonction holomorphe !

Un rappel, la détermination de la racine que tu utilises n'est holomorphe que sur privé de l'axe des réels négatifs.
En particulier, et ne doivent pas être réels négatifs.
Ta fonction est donc holomorphe sur privé des nombres imaginaires purs, de partie imaginaire positive, et privé des réels supérieurs à 1.

Ta fonction n'est donc pas holomorphe sur un voisinage de 0 épointé de 0, et donc n'y a pas de résidu ...

Si tu veux quand même calculer l'intégrale sur le cercle unité, il va falloir revenir à la définition d'une intégrale curviligne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Bien, merci pour ton aide.