Séries et intégrales généralisées

[inviteeb3ff208]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de maths à faire et je n'arrive pas vraiment à tout comprendre...

Montrer que l'intégrale de 0 à 1 de tⁿln(t) converge et déterminer sa valeur.
Puis en déduire que la série de terme général (-1)ⁿ/(2n-1)² est convergente, et que :

L'intégrale de 0 à 1 de ln(t)/1+t² = somme de la série précédemment décrite.

En fait j'ai réussit à montrer la première question et j'ai trovué que la valeur de l'intégrale est : -1/(n+1)²

Par contre je ne vois pas du tout le lien avec la suite de l'exercice. Je peux montrer que la série est convergente en utilisant par exemple la règle d'Abel mais je ne vois pas le rapport avec le début de l'exercice donc si vous pouvez m'aider un petit peu, ca serait vraiment gentil !

Bonne journée à vous !!
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[invite57a1e779]

Dans l'intégrale, il faut écrire comme la somme d'une série géométrique, en lien avec .

[inviteeb3ff208]

Je ne vois pas trop comment faire..
J'ai réussit à décomposer tⁿln(t) en une suite géométrique mais de là...

[invite57a1e779]

Quelle est la somme de la série géométrique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb3ff208]

a(1-qⁿ⁺¹)/1-q

ah ok sauf quand n tends vers l'infini ca nous fait si la valeur absolue de q est inférieur à 1 ca fait du a/1-q

[invite57a1e779]

Il te suffit donc de trouver et tels que .

[inviteeb3ff208]

Donc ln(t)/1+t² = Somme ln(t)*tⁿ/1+t²

C'est ca? Mais après avec l'autre série??

[invite57a1e779]

ln(t)/1+t² = Somme ln(t)*tⁿ/1+t²

Pas vraiment...

[inviteeb3ff208]

Pardon petite erreur...

C'est égal à la somme de ln(t)*tⁿ/1+t

[invite57a1e779]

Toujours pas... Dans , si , que vaut ?

[inviteeb3ff208]

Bah -t²... Ah ok
Mais je ne vois pas trop ou ca m'emmene...

[invite57a1e779]

A écrire : , et à utiliser les intégrales que tu as calculées dans la première question.
C'est un bête problème d'intégration d'une série terme à terme.

[inviteeb3ff208]

Ok le probleme c'est que je n'ai jamais intégré des séries...

[invite57a1e779]

Alors tu fais le calcul avec les mains dans le cambouis, et tu passes par les sommes partielles :

Tu intègres cette égalité entre 0 et 1, puis tu fais tendre N vers l'infini.

[inviteeb3ff208]

Merci pour tes indications, j'ai réussit à écrire ce que je voulais, par contre à la fin je me retrouve avec :
L'intégrale de 0 à 1 de ln(t)/1+t2 = somme de 0 à l'infini de (-1)ⁿ⁺¹/(n²+1)²

Au lieu d'avoir: somme de 1 a l'infini de (-1)ⁿ/(n²-1)²...

[inviteeb3ff208]

Pardon grosse erreur de ma part !
J'ai pas n²+1 mais 2n+1 par contre au niveau des indices c'est toujours mauvais...

[invite57a1e779]

Je pense que cela vient de ce que tu as écrit : ,ce qui est faux (sauf pour ...).

[inviteeb3ff208]

Non j'ai mis (t²)ⁿ=t²ⁿ, c'est faux ?

[invite57a1e779]

Non j'ai mis (t²)ⁿ=t²ⁿ, c'est faux ?

C'est bien ça. Mais je me demande bien d'où tu as pu sortir le terme n²+1.