Ensembles de "Nombres"

[Seirios]

Comme annoncé, voici un petit document que j'ai écrit sur les corps ordonnés : Corps ordonnés.pdf. Il y a probablement quelques coquilles, donc n'hésitez pas à me les faire remarquer.

[Médiat]

Bonjour,

Merci pour ce travail.

Je viens de parcourir (trop) rapidement votre document incontestablement intéressant (je le lirai plus à fond ce week-end), et si vous en êtes d'accord, il y a des passages que je pourrais reprendre dans le document sur les ensembles de nombres (en particulier dans la partie sur les complétudes).

Dans la définition 2.3 Invariange au lieu de invariante
Dans la propriété 6.2 archimédien dans le sens

La propriété 1.4 : Un corps ordonné admet un sous-corps isomorphe à
me paraît plus "élégante" (c'est une question de goût) sous la forme
Un corps de caractéristique 0 admet un sous-corps isomorphe à (son sous-corps premier).

Je la trouve plus élégante car elle ne nécessite pas la définition d'une relation d'ordre.

Amicalement,

[Seirios]

et si vous en êtes d'accord, il y a des passages que je pourrais reprendre dans le document sur les ensembles de nombres (en particulier dans la partie sur les complétudes).

Pas de problème.

Dans la définition 2.3 Invariange au lieu de invariante
Dans la propriété 6.2 archimédien dans le sens

Merci, je corrige.

La propriété 1.4 : Un corps ordonné admet un sous-corps isomorphe à
me paraît plus "élégante" (c'est une question de goût) sous la forme
Un corps de caractéristique 0 admet un sous-corps isomorphe à (son sous-corps premier).

Je la trouve plus élégante car elle ne nécessite pas la définition d'une relation d'ordre.

Mais ici, le résultat est un peu plus fort : il s'agit d'un isomorphisme de corps ordonnés (je n'ai pas précisé explicitement quelle notion d'isomorphisme j'utilisais, je vais rajouter une petite indication).

[Médiat]

Mais ici, le résultat est un peu plus fort : il s'agit d'un isomorphisme de corps ordonnés (je n'ai pas précisé explicitement quelle notion d'isomorphisme j'utilisais, je vais rajouter une petite indication).

Est-ce qu'il n'y a pas qu'une seule relation d'ordre totale sur qui soit compatible avec les opérations ?

[Seirios]

Oui effectivement, donc en sachant cela, on pourrait utiliser votre formulation. Je trouve qu'il est plus pratique (dans le document) d'écrire explicitement le morphisme, mais je vais rajouter une note.

[Médiat]

Comme je l'ai écrit, c'est surtout une question de goût.

[Médiat]

Bonjour,
Merci pour ce travail remarquable.
Quelques remarques rapides :
Je me demande si un petit glossaire des notations ne serait pas utile, je pense en particulier à : K[X], K(X), K[[X]], K((X)), [[1, n]].
Je doute de la preuve de la propriété 1.5
Dans la preuve de la propriété 2.7 est-ce qu'il ne faut pas
Dans la preuve de la propriété 3.12, ligne 2, est-ce qu'il ne faut pas
Au milieu de la page 9 : qu'il exite
Page 9 note de bas de page, je préfère "axiome de l'ultrafiltre", plutôt que "lemme"

[Seirios]

Je me demande si un petit glossaire des notations ne serait pas utile, je pense en particulier à : K[X], K(X), K[[X]], K((X)), [[1, n]].

Les notations K[[X]] et K((X)) sont explicitées au moment de leur introduction. Pour K[X], K(X) et [[1,n]], les notations ne sont-elles pas suffisamment répandues ?

Je doute de la preuve de la propriété 1.5

Effectivement, je ne montre absolument pas la propriété (i), seulement une inégalité alors qu'il y a égalité. Je vais arranger ce détail.

Dans la preuve de la propriété 2.7 est-ce qu'il ne faut pas

Tout à fait, sans quoi la suite pourrait être stationnaire égale à 0.

Dans la preuve de la propriété 3.12, ligne 2, est-ce qu'il ne faut pas

On cherche à définir , avec , donc x est bien un élément de .

Au milieu de la page 9 : qu'il exite

Je corrige.

Page 9 note de bas de page, je préfère "axiome de l'ultrafiltre", plutôt que "lemme"

C'est l'expression la plus répandue ou c'est simplement parce qu'il est plus correcte de parler d'axiome que de lemme ?

[Médiat]

Les notations K[[X]] et K((X)) sont explicitées au moment de leur introduction. Pour K[X], K(X) et [[1,n]], les notations ne sont-elles pas suffisamment répandues ?

Je pensais à un glossaire où toutes les notations seraient regroupées (ce n'est pas obligatoire).

On cherche à définir , avec , donc x est bien un élément de .

Je vais relire la démonstration.

C'est l'expression la plus répandue ou c'est simplement parce qu'il est plus correcte de parler d'axiome que de lemme ?

Les deux, j'ai toujours vu "axiome de l'ultrafiltre" (parmi les logiciens), et surtout parce que "axiome" est beaucoup plus correct (un lemme se démontre, un axiome se choisit)

[nicolashenry]

Quand la rédac de ce document va-t-elle commencer ???

[nicolashenry]

Un livre qui aiderait serait L'Univers des nombresde Ian Stewart, éditions Belin la science

[Médiat]

Quand la rédac de ce document va-t-elle commencer ???

Bonjour, vous trouvrez là : Ensembles de "Nombres", les 193 premières pages.

[nicolashenry]

Oui, merci. Excusez-moi, j'étais distrait . Remarquable travail !!!

[Médiat]

Un livre qui aiderait serait L'Univers des nombresde Ian Stewart, éditions Belin la science

Je viens de regarder le sommaire, ce n'est pas du tout le même angle d'attaque.

[Seirios]

Une question m'est venu à l'esprit : Pourquoi les entiers sont définissables ? Il me semblait que c'était parce que l'on pouvait trouver une partie dont un entier quelconque est le plus petit élément, mais la relation d'ordre ne pose-t-elle pas problème dans la logique du premier ordre ? Par exemple, ce n'est pas justement l'ordre qui fait que la propriété d'archimède n'est pas du premier ordre (IR est archimédien, mais pas *IR) ?