Ensembles de "Nombres"

[Médiat]

J'ai commencé (10%) à préparer un document (à l'usage exclusif et bénévole de FSG, bien sûr) sur les ensembles de "nombres" (de IN et avant, jusqu'aux IR-algèbres de dimension finie.

C'est un travail plus important que je ne me l'étais imaginé au départ, d'où le sondage.

Pour chaque ensemble de nombres, le sommaire doit être, à peu près (ce n'est pas significatif dans tous les cas) :

• Définition
• Mode de construction
• Table de multiplication
• Conjugué, le module, la norme et l'inverse
• Propriétés
• Propriétés algébriques
• Synonymes, Isomorphismes, Exemples
• Utilisation en physique
• Références

Liste actuelle et sujette à évolution :


1. HIÉRARCHIE ALGÉBRIQUE
1.1. PROTO-NOMBRES
1.2. ENTIERS NATURELS
1.3. ENTIERS RELATIFS
1.4. NOMBRES DÉCIMAUX
1.5. NOMBRES RATIONNELS
1.6. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES
1.7. EXTENSIONS TRANSCENDANTES
1.8. CLÔTURE ALGÉBRIQUE DE Q
1.9. NOMBRES RÉELS
1.10. NOMBRES COMPLEXES

2. VARIATIONS À PARTIR DE LA HIÉRARCHIE ALGÉBRIQUE
2.1. ENTIERS NATURELS COMPLETES
2.2. ENTIERS MODULO p
2.3. NOMBRES DYADIQUES
2.4. DROITE RÉELLE ACHEVÉE
2.5. NOMBRES P-ADIQUES
2.6. ENTIERS d'EISENSTEIN
2.7. ENTIERS DE GAUSS
2.8. ALGEBRE NATURELLE 3D
2.9. CORPS DE CARDINAL PLUS GRAND
2.10. NOMBRES SUPERNATURELS
2.11. Fun

3. MÉTHODES DE CONSTRUCTION
3.1. MULTICOMPLEXE
3.2. METHODE DE CAYLEY-DICKSON
3.3. ALGÈBRES DE CLIFFORD
3.4. MÉTHODE DE DOUBLEMENT DE LA DIMENSION
3.5. HYPERCOMPLEXES

4. INFINITÉSIMAUX
4.1. PSEUDO-RÉELS
4.2. HYPER-RÉELS
4.3. SURRÉELS
4.4. SUPERRÉELS
4.5. NOMBRES SUPER-RÉELS
4.6. SMOOTH-INFINITÉSIMAUX
4.7. LEVI - CIVITA

5. ZF
5.1. ORDINAUX
5.2. CARDINAUX
5.3. GRANDS CARDINAUX
5.4. ORDINAUX DE HESSENBERG
5.5. NOMBRES CALCULABLES

6. NOMBRES DE MUSÈS
/* Pas sur */

7. ALGÈBRE GÉNÉRALE
7.1. ALGEBRE
7.2. ALGEBRE SUR UN CORPS
7.3. ALGEBRE EXTERIEURE
7.4. ALGÈBRE FENDUE

8. ALGÈBRES DE DIMENSION 2 SUR IR
8.1. COMPLEXES
8.2. COMPLEXES FENDUS
8.3. COMPLEXES DUAUX

9. ALGÈBRES DE DIMENSION 4 SUR IR
9.1. QUATERNIONS
9.2. BICOMPLEXES
9.3. QUATERNIONS HYPERBOLIQUES
9.4. QUATERNIONS DUAUX
9.5. QUATERNION de HURWITZ
9.6. ALGEBRE DE l'ESPACE-TEMPS
9.7. COQUATERNIONS
9.8. BIQUATERNIONS FENDUS

10. ALGÈBRES DE DIMENSION 8 SUR IR
10.1. OCTONIONS
10.2. OCTONIONS CONIQUES
10.3. OCTONIONS FENDUS
10.4. BIQUATERNIONS
10.5. TESSARINES
10.6. BIQUATERNIONS DE CLIFFORD

11. ALGÈBRES DE DIMENSION 16 SUR IR
11.1. SÉDÉNIONS
11.2. SÉDÉNIONS CONIQUES

12. ALGÈBRES DE DIMENSION 32 SUR IR
12.1. TRIGINTADUONIONS

13. ALGÈBRES DE DIMENSION 64 SUR IR
13.1. SEXAGINTAQUATRONIONS
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[Garf]

Je commence. Ce serait extrêmement intéressant, surtout si le document est de la même qualité que ce que j'ai déjà pu lire de vous ici. Malheureusement, je maîtrise mal ces sujets, donc je ne pense pas pouvoir aider à la rédaction ; ceci dit, je suis intéressé par un extrait afin de me faire une idée (le cas échéant, j'arriverai peut-être à faire quelque chose...).

Une petite question : les propriétés topologiques de ces ensembles sont-elles (le cas échéant) aussi abordées ? Ca ne me semble pas clair au vu du sommaire schématique, mais ce serait dans tous les cas très utile (je me vois mal aborder les hyperréels sans parler un peu en détail de la notion de convergence d'une suite, et ce serait dommage de parler de convergence sans faire un peu de topologie - pas qu'il y ait besoin de détailler).

[Garf]

Je suis bête. Si on introduit comme le complété de pour la norme usuelle, on va *forcément* parler de convergence. Ma question serait plutôt : introduit-on formellement la topologie (ouverts, fermés, peut-être aussi les propriétés élémentaires) sur certains de ces ensembles, ou en reste-t-on à une notion de convergence sans détailler plus ?

[Médiat]

Malheureusement, je maîtrise mal ces sujets, donc je ne pense pas pouvoir aider à la rédaction

Mais si . Le but n'est pas de faire un document exhaustif, sur tout ce que l'on peut dire sur tous ces ensembles, mais en donner une idée juste, montrer qu'il y a un certain air de famille à tous ces ensembles et toutes ces constructions.

Si ce travail devait se faire, il me faudrait aussi trouver un (au moins) spécialiste Latex et des relecteurs ...

ceci dit, je suis intéressé par un extrait afin de me faire une idée (le cas échéant, j'arriverai peut-être à faire quelque chose...).

Dès que les résultats du sondage m'auront convaincus qu'il est intéressant de continuer, je posterai un premier extrait.

Une petite question : les propriétés topologiques de ces ensembles sont-elles (le cas échéant) aussi abordées ? Ca ne me semble pas clair au vu du sommaire schématique

Vous avez bien vu, mais bien sur, il n'est pas possible de parler de complétés (donc des nombres p-adiques) sans parler de topologies.

Le sommaire que j'ai donné est plus un guide qu'un carcan, je ne me vois pas donner la table de multiplication des réels par exemple. Donc tout est ouvert

Ma question serait plutôt : introduit-on formellement la topologie (ouverts, fermés, peut-être aussi les propriétés élémentaires) sur certains de ces ensembles, ou en reste-t-on à une notion de convergence sans détailler plus ?

A priori, mais chaque rédacteur pourra garder un peu de liberté, seules les notions topologiques liées à la distance, la norme , la convergence me paraissent utiles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

bonjour,

est-ce que l'anneau des entiers de Gauss n'est pas un cas particulier d'anneau des entiers dans une extension algébrique de Q ?
et au fait, est-ce qu'on donne un nom à l'ensemble des complexes a+ib avec a et b rationnels (resp. algébriques) ?

[Médiat]

est-ce que l'anneau des entiers de Gauss n'est pas un cas particulier d'anneau des entiers dans une extension algébrique de Q ?

Si, mais comme il a reçu un nom, c'est que cet ensemble a un intérêt particulier, c'est la seule raison de sa présence dans le sommaire.

et au fait, est-ce qu'on donne un nom à l'ensemble des complexes a+ib avec a et b rationnels (resp. algébriques) ?

Pas que je sache, mais si cela est intéressant on peut les ajouter, de la même façon que j'ai envisagé de mettre dans la liste l'intersection de IR avec l'ensemble des algébriques (cet ensemble a-t-il un nom ?).

[invite84eba484]

Bonjour, je suis aussi intéressé par ce document.

Bien sur toutes les parties ne me sont pas accesible mais par exemple la partie sur les algébres m'interresse fortement si elle est compréhensible, nottament la partie sur les quarternions (qui ont une importance en physique).

La suite, cad, les algébre de dim 8,16,32, 64, 128 ? etc.. attise ma curiosité.

Une question, a combien de page estimé vous ce document ?

[Médiat]

Une question, a combien de page estimé vous ce document ?

Pour l'instant et à vue de nez je dirais entre 1 et 1,5 page par ensemble, mais cela va dépendre aussi des contributeurs.

Par exemple, il n'est pas question de faire un cours complet d'Algèbre, mais de donner les définitions nécessaire à la compréhension des ensembles construits comme des IR-algèbres.

[taladris]

Je trouve l'idée excellente!

Si vous le souhaitez, je suis prêt à apporter ma (petite) contribution à l'écriture de ce document.

[invitec7c23c92]

Bonjour,

Ca a l'air d'un projet intéressant. Je suis prêt à participer également.

[Turgon]

Bonjour Médiat.

Alors pour ma part, je serais peut-être en mesure d'examiner le début du document, j'ai lu une partie déjà de votre document "Arithmétique" (il faut d'ailleurs que je finisse de poster mes exos pour correction) et donc je suis dans une phase ou je réfléchit sur des choses que je ne connait pas et donc je pourrait peut-être aussi jeter un regard innocent sur le reste donc relever des choses qu'un individu plus rodé ne verrait pas.

Pour ce qui est de Latex je ne suis pas du tout spécialiste, mais je suis moi-même en train de rédiger un document d'algèbre linéaire donc autant dire que je suis en plein dedans, n'hésitez pas à demander pour un service vu que ça a quand même l'air un peu long ^^).

Bonne chance

[Médiat]

Merci à tous ceux qui ont déjà répondu, et particulièrement à ceux qui sont prèts à collaborer.

Pour que ce projet ait un sens , il me semble qu'avoir une vingtaine de personnes intéressés serait un bon début et 4 ou 5 contributeurs un minimum.

Je pense poster demain un extrait encore plein de défaut, ce qui peut-être pédagogiquement intéressant.

Pour ceux qui voudrait contribuer ce serait bien de m'envoyer un MP (ou de poster dans ce fil) les sujets qui vous intéressent, que ce soit un ou des ensembles en particulier ou un sujet tranverses, comme la recherche de référence, ou l'utilisation en physique (il serait peut-être bon d'intéresser des physiciens).

[mh34]

A quel niveau de connaissances ce document va-t-il s'adresser? Autrement dit, quelqu'un qui n'a plus fait de maths depuis sa lointaine terminale ( moi...) a-t-il une chance d'y comprendre quelque chose?

[Médiat]

Sans aucun doute, en prenant les chapitres dans le bon ordre (ce qui n'est pas forcément l'ordre que j'ai donné qui peut encore être revu), et sans regarder les chapitres les plus ardus. Normalement tous les chapitres 1.1 à 1.5 devraient être accessibles au niveau collège et de 1.1 à 1.10 au niveau lycée..

Par exemple les "proto-nombres" sont les nombres simplissimes : {1, 2, Beaucoup}, avec des opérations très simples comme (1 + Beaucoup) = Beaucoup, même ceux qui comptent plutôt mal peuvent s'en sortir

[mh34]

Merci.
Pour le coup, je suis très intéressée.

[invite54165721]

En mécanique quantique on voit apparaître les nombres de Grassmann qui ont des propriétés déroutantes (wikipedia.
Je ne sais pas s'ils entrent dans le cadre de l'un des articles.

Bravo pour l'idée.

[Médiat]

Les nombre de Grassmann sont sur ma liste, mais je n'ai pas encore décidé s'ils seraient dans ce document ou non, si vous voulez vous en occupez, ils le seront .

[Médiat]

Comme promis, un exemple :

[invite84eba484]

bonjour,

j'ai lut votre document sur les quaternions. Il présente assez bien les choses méme si je suis rester sur ma faim. En effet je trouve que ce n'est pas assez devellopé, peut etre parce que ce n'est qu'une premiere ébauche ou alors que la suite du chapitre "algebre de dim4" permettra de devellopper un peu plus le sujet.

Sinon le niveau est tout a fait convenable et trés compréhensible ( a l'exception du paragraphe " mode de construction" où je dois avouer que je n'ai rien compris mais comme il fait appel a des notions qui serons exposé plus tard c'est sans doute normal vue mon niveau en math).

Maintenant concernant les applications en physique, je pense qu'il serais bien de parler (brievement) de leurs utilisations dans les théories modernes (théorie des cordes, GNC ).
Je n'ai pas assez de connaissances pour completer ceci et peut etre que d'autre phycisiens pourrons venir en parler.

Mais je peut tout de meme faire une bréve recherche sur le sujet pour écrire 1 ou 2 lignes.

En tout cas bravo cela a l'air vraiment interressant et j'ai hate de voir la suite.

[Médiat]

Bonjour,

En effet je trouve que ce n'est pas assez devellopé

Cela restera forcément "peu développé", un document sur les quaternions pourrait faire 200 pages et ce n'est pas le but, maintenant, s'il manque des choses, à votre avis indispensables (et pas trop longues), il n'y a pas de problème .

La partie "Références" est justement là pour permettre à ceux qui voudraient aller plus loin de trouver rapidement des documents sur le net.

( a l'exception du paragraphe " mode de construction" où je dois avouer que je n'ai rien compris mais comme il fait appel a des notions qui serons exposé plus tard c'est sans doute normal vue mon niveau en math).

Pas de problème, les modes de construction seront exposés dans le chapitre "Méthodes de construction", et elles sont assez simples.

Maintenant concernant les applications en physique, je pense qu'il serais bien de parler (brievement) de leurs utilisations dans les théories modernes (théorie des cordes, GNC ).
[...]
Mais je peut tout de meme faire une bréve recherche sur le sujet pour écrire 1 ou 2 lignes.

Volontiers (je n'ai aucune compétence en physique), toutes les bonnes volontés sont bienvenues.


Cordialement

[invite6754323456711]

Bonjour,

Il y a un chapitre sur les hypercomplexes dans le livre de Penrose. Les références peuvent être utilisées.

C'est la généralisation des quaternions algèbre de Clifford, algèbres de Grassmann qui semble intéresser les physiciens. Par exemple la " forme quatrique" du quaternion n'a pas la bonne signature pour représenter l'espace-temps. La fonction holomorphe d'une variable quaternionique dépend de son conjugué ...

Patrick

[Médiat]

Il y a un chapitre sur les hypercomplexes dans le livre de Penrose. Les références peuvent être utilisées.

Très bonne référence effectivement.

[invitec7c23c92]

Cela restera forcément "peu développé", un document sur les quaternions pourrait faire 200 pages et ce n'est pas le but, maintenant, s'il manque des choses, à votre avis indispensables (et pas trop longues), il n'y a pas de problème .

On peut peut être ajouter les définitions des partie réelle (ou scalaire) et imaginaire (ou vectorielle) d'un quaternion.

Quand on dit que le "i" est exactement celui de C, ça veut dire que le plan engendré par 1 et "i" est un corps isomorphe à C, et ce "i" du corps H est le i habituel de C.
Mais on peut peut-être préciser que ça marche pareil si on prend les plans engendrés par 1 et j, ou bien 1 et k, voire 1 et n'importe un quaternion imaginaire pur normé quelconque : "i" ne joue pas de rôle privilégié.

[stefjm]

Bonjour,
Excellente initiative.
Les parties «utilisations en physique» des entiers, relatifs, réels et complexes m'intéressent plus particulièrement.

Un point qui me parait intéressant, car à l'interface mathématique-physique, est la notion de nombre (ou grandeur) dimensionné. (définition, intérêts, usages, etc...)

Je vais enfin avoir une définition de "nombre".

Bien cordialement et merci pour l'initiative.

[Médiat]

Bonsoir,

Les parties «utilisations en physique» des entiers, relatifs, réels et complexes m'intéressent plus particulièrement.

Prêt à les écrire ?

[invite54165721]

ou peut on lire les parties déjà écrites?

[stefjm]

Bonsoir,

Prêt à les écrire ?

Tout ce qui traine sur le forum de physique à propos de l'utilisation des réels et des complexes en physique ne fait pas consensus; ce serait l'occasion pour moi de faire le tri.

Dans les propriétés, il ne faudra pas oublier la réalité.

[Médiat]

Mais on peut peut-être préciser que ça marche pareil si on prend les plans engendrés par 1 et j, ou bien 1 et k

Oui, c'est exact. J'aurais sans doute dû expliquer que, partant de C (donc avec 1 et le i de C), en ajoutant un élément j tel que j² = -1, pour avoir un corps, il faut aussi ajouter ij (noté k) et la table de multiplication qui va bien : celle des quaternions.

[Médiat]

ou peut on lire les parties déjà écrites?

Sur mon PC .

Aujourd'hui, aucun chapitre n'est réellement terminé, et pour l'instant je n'ai pas prévu de post chapitre pas chapitre (ne serait-ce que pour les liens internes), les quaternions était juste un exemple. Par contre je ne suis pas opposé à avoir des relecteurs ...

Pour l'instant il n'y a que 2 personnes réellement déclarées pour m'aider sur la partie purement mathématique, ce sera donc long ...

[Médiat]

Tout ce qui traine sur le forum de physique à propos de l'utilisation des réels et des complexes en physique ne fait pas consensus; ce serait l'occasion pour moi de faire le tri.

Je ne suis pas sur, les débats auxquels j'ai participé portaient sur la "réalité" des réels, des complexes etc., mais je n'ai pas souvenir que quiconque est réfuté l'usage des complexes (par exemple) en physique. Les débat portaient finalement plus sur la mesure (et l'appréhension de la "réalité physique") que sur la théorie, or seule cette dernière m'intéresse ici, le but est de montrer que tel ensemble de nombre est "utile" pour le physicien.

[HS]
Sinon, pour les appareils de mesure a-t-on besoin de plus évolué que des proto-nombres (en deça d'un certain seuil, on ne sait pas si on mesure un truc très petit ou 0, et au-delà d'un certain seuil, on ne sait rien dire, à part : "il y en a beaucoup") ?
[/HS]