Ensembles de "Nombres"

[Médiat]

Bonjour,

Taladris, que je remercie à nouveau, a écrit le chapitre sur les Cardinaux, vous le trouverez dans cette nouvelle version.

Comme j'avais déjà écrit le chapitre sur les sexagintaquatronions, il est aussi inclus ici.

Ce chapitre inclut un algorithme (très facile à implémenter dans un tableur avec macros par exemple) qui permet de créer les tables de multiplications de toutes les algèbres de Cayley-Dickson contruite à partir de , sans s'appuyer sur les tables précédentes.

Vous pouvez donc être le premier à créer la table des 1024-ions, à lui donner un nom, à l'étudier, bon courage .

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***
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[Seirios]

En VI.2.2 : une petite virgule après "x est un cardinal" serait appréciable, et à l'avant-dernier paragraphe, "n'est pas un cardinal" ; en VI.2.6, "un résultat important" et il manque une parenthèse avant les sept propriétés ; en VI.2.4, "dont l'un au moins est infini".

Sinon, à quoi fait référence la notion de classe dans la classe des cardinaux ?

[Médiat]

En VI.2.2 : une petite virgule après "x est un cardinal" serait appréciable, et à l'avant-dernier paragraphe, "n'est pas un cardinal" ; en VI.2.6, "un résultat important" et il manque une parenthèse avant les sept propriétés ; en VI.2.4, "dont l'un au moins est infini".

Je corrige, merci de vos remarques.

Sinon, à quoi fait référence la notion de classe dans la classe des cardinaux ?

Une classe est une collection d'ensembles telle que nous être humain pouvons la "concevoir", par exemple "Tous les cardinaux", mais ces collections (qui sont en fait des ensembles au sens naïf) ne sont pas des ensembles au sens de la théorie des ensembles.

[taladris]

Et je remercie Médiat pour les corrections de mon travail.

J'ai noté quelques fautes de typo:
-> La définition de cardinal successeur est présente deux fois (VI.2.3 et VI.2.4).
-> Le théorème de Cantor est énoncé en VI.2.6 mais est utilisé dès VI.2.5.
-> Il manque un espace entre le théorème de Cantor et celui de Cantor-Berstein-Schroder.

Je compte toujours rajouter un paragraphe sur les liens entre les différentes hypothèses sur les cardinaux (hypothèse du continu,...) et la métrisabilité des espaces topologiques, mais je n'est pas encore retrouvé ma source.

[Médiat]

Bonjour,

Ce ne sont pas des corrections, j'ai juste fusionné deux documents .

J'ai porté toutes les corrections et remplacé le document.

Encore merci.

Je compte toujours rajouter un paragraphe sur les liens entre les différentes hypothèses sur les cardinaux (hypothèse du continu,...) et la métrisabilité des espaces topologiques, mais je n'est pas encore retrouvé ma source.

Aucun problème, prenez votre temps ...

[Médiat]

Pas de volontaire pour devenir célèbre en étant le premier à étudier les 1024-ions ?

[Xoxopixo]

Pas de volontaire pour devenir célèbre en étant le premier à étudier les 1024-ions ?

Une vie entiere ne me parait pas suffisante pour les étudier.
Surtout en ce qui me concerne.

Par contre, pourquoi utiliser des réels, si des entiers (tres grands) suffiraient ?
C'est peut-être une question qui parait absurde.
Mais je comprend qu'il y aurait alors des "trous", ou disons des equivalents. Une "forme" qui serait implicite.

Pourquoi 1024 ? 256, 512, donc 3x au "dessus" de... qu'est-ce que je lis page 129, Les Voudons.
C'est une idée "à l'indienne" les 1024-ion ?
Il y a une théorie des hyper-cordes à la clef ?

[Médiat]

Une vie entiere ne me parait pas suffisante pour les étudier.

Certes l'usage d'un ordinateur s'impose, mais cela n'a pas de raison de durer trop longtemps.

Surtout en ce qui me concerne.

Seriez-vous déjà d'un âge canonique ? Mais ne vous inquiétez pas, même dans ce cas vous intéresserez beaucoup les catégoriciens (no offense)

Par contre, pourquoi utiliser des réels, si des entiers (tres grands) suffiraient ?

Pour avoir une algèbre, mais ce n'est pas le plus important, les études partent de la base.

Pourquoi 1024 ? 256, 512, donc 3x au "dessus" de... qu'est-ce que je lis page 129, Les Voudons.

Pour prendre un peu d'avance au cas où quelqu'un serait en train d'étudier les cas 256 et 512 (en fait, à ma connaissance, il n'y a pas grand-chose de fait au dela de 32), et puis 1024, ça fait un Kilo tout rond, si vous préférez 512, pas de problème, lachez-vous.

Il y a une théorie des hyper-cordes à la clef ?

A voir avec des physiciens .

[Xoxopixo]

Xoxopixo
Par contre, pourquoi utiliser des réels, si des entiers (tres grands) suffiraient ?

Pour avoir une algèbre, mais ce n'est pas le plus important, les études partent de la base.

D'accord,
c'est juste que j'aurais aimé avoir des, disons des parties de dimensions impossibles.
De manière à ne pas avoir à les calculer à posteriori, puisque ceci semble délicat, mais que les impossibilité de fait, et donc bien entendu les possibles, ne soient plus ce qu'on cherche mais qu'elles soient déterminés par les "couples" de valeurs possibles.
La contrainte algébrique etant qu'on ne peut pas diviser certains nombres par d'autres.
Donc partir d'un crible, considéré "sphérique", histoire de faire simple, puis d'en déduire l'espace contorsionné tel qu'il apparait.

C'est vrai qu'il faudrait que je me penche un peu plus sur votre remarque également.

Pour avoir une algèbre, mais ce n'est pas le plus important, les études partent de la base.

[Médiat]

J'ai décidé de poster cette version, car parmi les nouveaux chapitres, il y en a un (Compactification des Entiers Naturels} qui devrait intéresser taladris, un des co-auteurs.

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[taladris]

Merci pour cet ajout.

Les algèbres de Lie n'apparaissent pas dans le document. Est-ce un choix? Ou existe-t-il des arguments pour dire que ce ne sont pas des "ensembles de nombres"?

[Médiat]

Les algèbres de Lie n'apparaissent pas dans le document. Est-ce un choix? Ou existe-t-il des arguments pour dire que ce ne sont pas des "ensembles de nombres"?

Je n'avais pas envisagé de les inclure, mais je ne vois aucune objection à les ajouter dans la partie algèbre générale, parmi les autres types d'algèbres.

Si vous êtes volontaire : ne vous retenez pas .

Dans ce cas je me déciderai (j'hésite depuis longtemps ) à parler du "Commutateur" dans les algèbres de dimension 4 et au-delà, puisque ce dernier correspond au crochet dans les algèbres de Lie.

N'hésitez pas à me corriger sur la topologie, ce n'est pas mon coeur de compétence.

[Seirios]

Pour la compactification des entiers, à la dernière page, il y a une petite faute de frappe : "lemme de Zorn".

Sinon, la construction du compactifié du Stone-Cech par les ultrafiltres fonctionne pour tout espace topologique discret.

Une application assez inattendue (enfin je trouve) de est le théorème de Hindman (voir par exemple http://projecteuclid.org/DPubS/Repos...ams/1183538890).

[Médiat]

Pour la compactification des entiers, à la dernière page, il y a une petite faute de frappe : "lemme de Zorn".

Oups !

Sinon, la construction du compactifié du Stone-Cech par les ultrafiltres fonctionne pour tout espace topologique discret.

Les espaces discrets sont totalement réguliers, donc bien inclus, puisque c'est la caractérisation que j'ai donnée ; j'espère avoir bien compris votre remarque.

Une application assez inattendue (enfin je trouve) de est le théorème de Hindman (voir par exemple http://projecteuclid.org/DPubS/Repos...s/1183538890).

Ce document m'avait échappé, je vais y jeter un coup d'oeil.


Quant au théorème de Hindman (que j'aime bien ), je ne l'ai pas cité à dessein (il faut bien s'arrêter, mais rien ne m'interdit de l'ajouter), il se trouve dans le document "Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Cech Compactification" qui est dans les références.

[Seirios]

Les espaces discrets sont totalement réguliers, donc bien inclus, puisque c'est la caractérisation que j'ai donnée ; j'espère avoir bien compris votre remarque.

Je faisais simplement remarqué que cette construction par les ultrafiltres pouvait s'étendre à tout espace discret, et ne se retrouvait donc pas uniquement dans le cas de .

[Médiat]

Bonjour,
En faisant des recherches sur les méthodes de constructions des réels, je suis tombé sur cette référence :

A New Construction of the Real Numbers
P. Shiu
The Mathematical Gazette
Vol. 58, No. 403 (Mar., 1974), pp. 39-46
(article consists of 8 pages)
Published by: The Mathematical Association
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3615477

Malheureusement je n'ai pas accès à cet article (papier ou web), dont il semble que personne ne se soit inspiré, depuis.
Si quelqu'un ayant accès à cet article pouvait, non pas le pirater pour moi, mais écrire un article (1/2 à 1 page environ), sous réserve que la méthode soit intéressante mathématiquement ou pédagogiquement, je pourrais l'inclure dans le document sur les ensembles de nombres.
Merci d'avance.

[taladris]

Bonjour, cela ne répond pas à la question mais dans la discussion suivante http://sci4um.com/about31838-asc.html un des participants donne des références sur plusieurs constructions possibles de R.

[Médiat]

Merci pour ce lien.

Je n'aurai pas accès à ce site avant ce soir (firewall), mais je ne serais pas surpris que ce soit là que j'ai trouvé la référence à P. SHIU.

[Médiat]

Je confirme, c'est bien dans ce lien que j'ai trouvé la référence à P. SHIU.

[Garf]

Pas facile d'obtenir la revue (in disponible ici). J'ai vu qu'ils l'avaient à Jussieu, mais pour trouver quelqu'un sur place pour le transmettre en août...

[Médiat]

Merci de cette info, j'espère qu'on trouvera quelqu'un qui peut ou pourra passer à Jussieu ...

[invite986312212]

bonsoir,

j'ai eu accès au papier de Shiu mais je n'ai pas le temps en ce moment de rédiger la page demandée. En gros il part de la série des 1/n et dit qu'en sommant non pas tous les termes mais ceux d'une suite extraite, on atteint n'importe quel réel positif : . Ca ne me semble pas évident d'ailleurs mais ça doit l'être suffisamment puisqu'il ne le justifie pas. Partant de ce constat, il définit une relation d'équivalence sur les parties de N (celles qui donnent le même x) et définit R (en fait R+) comme l'ensemble quotient.

[Garf]

C'est bien ce que je pensais vu la demi-page de preview, mais c'est un peu décevant. Rien de plus qu'une variation sur la définition de par les suites de Cauchy. Comment fait-il pour définir l'addition et la multiplication, au passage ?

[Médiat]

j'ai eu accès au papier de Shiu [...]

Bonjour,

Merci, de cette info, je commence à voir de quoi il s'agit ; cela me fait penser au développement en série de Sylvester, avec l'inconvénient (majeur d'un point de vue pédagogique) de nécessiter un quotient (ce qui nous ramène bien, comme le dit Garf à un sous-ensemble de suites de Cauchy). Ce n'est sans doute pas un hasard si personne n'a repris cette méthode ...

Comment fait-il pour définir l'addition et la multiplication, au passage ?

En général (cf. la prochaine version ), le point délicat est la propriété de la borne sup, ensuite l'addition et la multiplication sont définies à l'aide de cette propriété.

[invite986312212]

Bonjour,

Merci, de cette info, je commence à voir de quoi il s'agit ; cela me fait penser au développement en série de Sylvester, avec l'inconvénient (majeur d'un point de vue pédagogique) de nécessiter un quotient (ce qui nous ramène bien, comme le dit Garf à un sous-ensemble de suites de Cauchy). Ce n'est sans doute pas un hasard si personne n'a repris cette méthode ...

pourtant si on part des suites de Cauchy, il faut bien quotienter aussi, vu qu'une palanquée de suites de Cauchy rationnelles peuvent avoir la même limite. Ou je dis des bêtises?

[Médiat]

pourtant si on part des suites de Cauchy, il faut bien quotienter aussi, vu qu'une palanquée de suites de Cauchy rationnelles peuvent avoir la même limite. Ou je dis des bêtises?

Je me suis mal fait comprendre, je voulais dire que cette méthode ressemble, dans la forme, au développement en série de Sylvester qui, elle, ne nécessite pas de passage au quotient contrairement à la méthode Shiu.

Cette méthode ressemble beaucoup, dans le fond (à ce que j'en comprends) à la méthode par les suites de Cauchy qui elle aussi nécessite un passage au quotient.

[invite986312212]

ah j'avais mal compris. Une petite différence: on part ici de l'ensemble des suites d'entiers, au lieu des rationnels.

[Médiat]

Une petite différence: on part ici de l'ensemble des suites d'entiers, au lieu des rationnels.

Les sommes de 1/n sont bien des suites de rationnels, mais contrairement aux suites de Cauchy générales on peut les décrire par une suite d'entiers de façon très naturelle (contrairement à ce que l'on obtiendrais en faisant la même chose avec des rationnels quelconques et une bijection entre et ).

Je parle de naturelle, car si je représente la suite

(où les a_i sont des entiers, que l'on peut toujours ordonner), on a un moyen simple de savoir laquelle de deux suites correspond à un nombre plus petit que l'autre (et ce moyen "passe à la limite").

A vue de nez, sans avoir lu l'article, j'ai l'impression que cette méthode est un peu plus simple que les suites de Cauchy (à cause de la représentation par des suites d'entiers), mais beaucoup moins simple (à cause du quotient) que la méthode par les séries de Sylvester.

Je ne m'étends pas car tout cela est prévu dans la prochaine version du fichier, mais j'ai encore pas mal de boulot ...

[Médiat]

Appel à l'aide à tous les catégoriciens de passage :


Je connais une manière très élégante d'introduire grace à la théorie des catégories (les diagrammes de Lawvere), mais existe-t-il un moyen catégorique de décrire ?

[Médiat]

Bonjour,

Quelqu'un saurait-il quelles sont les traductions en français des termes suivant, dans le cadre des treillis :

Coverage
Lower-set : Section commençante
Upper-set : Section finissante
Locale
Frame

Merci d'avance

[Edit] 2 cas me sont revenus en mémoire