Application lié à une matrice

[inviteab06e483]

Bonjour !
Voilà je suis en 1ère année de licence de math-Info et on m'a donner à faire un DM de math algèbre jusque là tout allait bien mais une partie du DM me pose beaucoup de problème :

Alors déjà je résume on a la matrice A = (1/2 -(3)^(1/2)/2 (3)^(1/2)/2 1/2) de dimension 2x2
La première question consistait à calculer A^i avec 0 <= i < 6 et on devait en déduire que A^6 = I2 du coup quand on le calcul on voit que A^3 = (-1 0 0 -1) il y a juste à mettre au carré pour obtenir A^6 bref on remarque aussi que l'inverse de A^2 c'est A^4 du coup on remarque que c'est une matrice inversible.

La deuxième question fallait montrer que le groupe G (A^i avec 0<=i<6) est un sous groupe de GL2(R) d'ordre 6

du coup je ne suis pas vraiment sur de ce que j'ai fait donc faut montrer que G n'est pas vide donc existence de I2 vu que c'est des matrices là et montrer que pour deux matrice X Y de G X.Y^-1 appartient à G et j'en déduis que G appartient à GL 2 :/

Du coup j'ai pris deux matrice A^1 et A^2 donc du coup on a A^4 = (A^2)^-1 donc apres je dis que je pose X= A^1 et Y=A^2 on a alors X.Y^-1 = A^1 . A^4 = A^5 du coup ca appartient à G

Mais j'ai un gros doute je ne suis pas sur de moi parceque je sais pas si je dois utiliser des cas précis comme j'ai fait là parceque si on met A^3 et A^2 ca marche pas du coup quand j'ai fait mes calculs je remarque que les matrices dont les inverses appartiennent à G c'est avec 0<= i <3 du coup j'ai mis en remarque que la propriété n'était valable que pour les matrices dont l'inverse appartenait à G


Ensuite la question fatidique ou je me casse les dents dessus :/
i barre = i avec une barre dessus
Soit Phi application de Z/6Z dans G définie par Phi(i barre) = A^i pour i barre appartenant à Z/6Z

a) Montrer que phi est bien définie et que c'est un morphisme
b) Montrer que c'est un isomorphisme

Mon problème c'est de savoir à quoi correspond ce i barre là j'ai pensé à l'inverse de i : i appartient à l'ensemble ( 0 1 2 3 4 5) donc i barre appartiendrait à l'ensemble ( 0 -1 -2 -3 -4 -5 )
Enfin moi j'ai fait avec i normal parceque je comprenais pas lol
Du coup pour savoir si phi est un morphisme il faut que pour x y appartenant à Z/6Z on ait phi(x.y) = phi(x) phi(y)
Bref j'ai essayé avec x=1 et y=3 ca donne phi(3) = phi(1) phi(2) du coup c'est faux et j'ai remarque que la propriété était vrai si et seulement si x = y donc si on prend x = y = 2 on a phi (2.2) = A^4 = A^2.A^2 = phi(2)phi(2) du coup si la propriété est vrai pour x = y ca revient pas à dire que c'est un isomorphisme ?

Voilà j'espère que vous pourrez m'aidez en m'expliquant bien en détail car quelques choses m'échappe !
Merci d'avance =)
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[KerLannais]

Bonjour,

Pour vérifier que tu as un sous groupe il faut bien entendu que tu vérifie que pour tout . Déjà tu peux remarquer que tous les éléments de on un inverse puisque pour

et pour tu sais que c'est donc bien une matrice inversible. Ainsi la propriété est clairement vérifiée si ou (ou les deux) est . Tu peux donc supposer que
et
avec

On a alors

On a

Donc si

c'est bon
et si alors

et

donc c'est bon aussi et est bien un sous groupe de .

Pour ce qui est de la signification de la barre tu peux simplement oublier qu'il y a une barre, en fait ce la vient de la définition de , on note ses éléments au lieu de pour ne pas confondre avec les entiers normaux puisque a priori

et

et

alors que

seulement lorsque l'on a l'habitude on ne met plus les barres.

Il faut utiliser la loi additive sur

c'est donc correct

[inviteab06e483]

Merci beaucoup pour la réponse ^^
Du coup pour le groupe j'avais fais un cas précis au lieu d'un cas général

Pour ce qui est du morphisme du coup ma relation est juste et elle démontre que c'est un morphisme ?
Et pour l'isomorphisme il faut donc démontrer que l'application est bijective mais dans ce cas précis je vois pas vraiment comment procéder si on pouvait me mettre sur la piste svp =)

J'ai aussi une autre petite question qui est un détail mais que je me torture à faire alors que je suis pratiquement sûr que c'est juste un petit bidouillage à faire
On a la matrice B (1 0 0 -1) on voit B² = Id et on veut montrer que BAB^-1 = A^-1 et je vois pas l'astuce.

Merci d'avance =)

[KerLannais]

Pour montrer qu'une application d'un ensemble fini vers un autre est bijective il faut que les ensembles dde départ et d'arrivée aient le même cardinal et il suffit que ces ensembles aient le même cardinal et que l'application soit surjective. C'est donc évident dans ton cas.

Pour montrer que ces un morphisme il faut bien sûr le montrer dans tous les cas, pas que dans un cas particulier. Mais bon grace aux règles sur les puissances, et au fait que on peut sens sortir un peut comme la démo que je t'ai donné pour montrer que est un groupe.

Pour ta dernière question c'est un calcul à faire. Toute fois, puisque tu sais que et donc tu connais l'inverse de , le calcul se fait alors très facilement.

[A voir en vidéo sur Futura]