Ensemble, majoration minoration

[invite7b17f543]

Bonjour, j'ai un petit exercice de maths à résoudre, j'ai fait le début de l'exo mais je bloque sur les 2 dernières questions, si qqn pouvait m'aider (si possible) ce serait sympa. Voici l'énoncé :

On considère l'ensemble : E= avec a et b 2 réels.

1) Montrer que E est minoré par 0
(c'est fait)

2) Montrer que inf(E) existe et que inf(E) = min(E) = 0
(C'est fait)

3) Montrer que : Pour tout (a,b) réels, a² + b² - 2ab 2(a² + b²)
(c'est fait)

4)Montrer que E est majoré par 2
(C'est fait (avec doute))

5) Montrer que l'on a : Pour tout [0,2[, E
(indication : on choisira b=-a)
En déduire que sup(E)=2

Là, je bloque à la première partie de la question, je vois pas comment faire.

6) Que pensez-vous du max(E) ?

Je pense qu'il n'y en a pas, mais il faut le démontrer. Et là, je bloque aussi.

Voilà, merci d'avoir lu, et merci de m'aider si vous avez une petite idée, aux questions 5 et 6 principalement. Merci encore d'avance.
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[Thorin]

Salut,
l'indication nous propose de considérer l'ensemble F constitué des , qui est un sous ensemble de E.

on veut montrer que pour tout dans , il existe tel que . étais tu arrivé à cette étape ?

[Tiky]

5) On te demande simplement de montrer que .

.
Si tu poses , alors l'expression de devient :


Tu considères l'application qui est bien continue sur . Il suffit d'étudier les limites de cette fonction et tu auras ta réponse.

6) Tu peux raisonner par l'absurde en supposant que le sup(E) est atteint. Tu obtiens une équation :

[invite7b17f543]

J'ai remplacé b par -a et j'avais . Mais je n'avais pas raccorder la notion de sous-ensemble, et même en ayant fait ça, je ne vois pas comment montrer cela. ou peut-être que c'est évident, et je ne le vois pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b17f543]

Les limites en + et ?

[invite7b17f543]

Et pour la 6) je vais regarder ça. Sinon, merci pour votre aide précieuse. et encore merci

[Tiky]

Dresse le tableau de variation complet de la fonction et comme la fonction est continue, le théorème des valeurs intermédiaires te dit que l'image d'un intervalle (ici ) est un intervalle, tu pourras montrer que l'image de cette fonction n'est autre que . Au passage cette fonction est paire, tu peux te contenter de l'étudier sur .

[invite7b17f543]

Ok, je vais suivre tes conseils, merci bcp !