Suite et démonstration

[Bleyblue]

Bonjour,

Soit a un réel donné et u_n la suite définie par :

u₀ = 2
u₁ = 2cos(a)

et

u_{p + 1} = u₁u_p - u_{p - 1} pour p plus grand ou égale à 1.

Je dois démontrer que u_n = 2cos(na)

Moi je procède par récurrence alors :

1) Je vérifie que s(n) = 2cos(na) est bien vraie pour n = 0 et n = 1

2) Je suppose s(k - 1) et s(k) (k > 1) sont vrai et je tente de démontrer que s(k + 1) est vrai :

s(k + 1) = 2cos(a)2cos(ka) - 2cos((k - 1)a) = 2( 2cos(a)cos(ka) - cos(ka - a) )
= 2(2cos(a)cos(ka) - cos(ka)cos(a) - sin(a)sin(ka))
= 2 (cos(a)cos(ka) - sin(a)sin(ka) )
= 2cos(ka + a) =

2 cos( (k + 1)a ) et donc comme ici n = (k + 1) on a bien s(n) = 2cos(na) et c'est démontrer.

Est-ce que c'est juste ? Je pense que oui, mais je doute toujours un peu de mes démonstrations par récurrence ...

merci
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[indian58]

Pas de poblème!

[Bleyblue]

Ok merci (désolé pour le retard )